基本介紹
- 中文名:二次根式
- 外文名:quadratic radical
- 套用:化簡二次根式
- 條件:被開方數可以為正為負為0
- 使用領域:初等代數
- 套用學科:數學
定義,定義,最簡二次根式,算術平方根,性質,有理化因式,分母有理化,分子有理化,換元法,運算,加減法,乘除法,混合運算,開平方運算,運算方法,套用,共軛根式,共軛根式,共軛虛根(證明),
定義
定義
即:若 ,則 叫做a的平方根,記作x= 。其中a叫被開方數。其中正的平方根被稱為算術平方根。
關於二次根式概念,應注意:
最簡二次根式
最簡二次根式條件:
1.被開方數的因數是整數或字母,因式是整式;
2.被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
二次根式化簡一般步驟:
1.把帶分數或小數化成假分數;
2.把開方數分解成質因數或分解因式;
3.把根號內能開得盡方的因式或因數移到根號外;
4.化去根號內的分母,或化去分母中的根號;
5.約分。
算術平方根
非負數 的平方根統稱為算術平方根,用 (a≥0)來表示。
負數沒有算術平方根,0的算術平方根為0。
性質
1. 任何一個正數的平方根有兩個,它們互為相反數。如正數a的算術平方根是 ,則a的另一個平方根為﹣ ;最簡形式中被開方數不能有分母存在。
2. 零的平方根是零,即 ;
4. 有理化根式:如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式,那么這兩個代數式互為有理化根式,也稱互為有理化因式。
6. 當a≥0時, ; 與 中a取值範圍是整個複平面。
7. [任何一個數都可以寫成一個數的平方的形式;利用此性質可以進行因式分解。
8. 逆用可將根號外的非負因式移到括弧內,如
(a>0) , (a<0), ﹙a≥0﹚ , (a<0)。
9.注意: ,然後根據絕對值的運算去除絕對值符號。
10.具有雙重非負性,即不僅a≥0而且 ≥0。
有理化因式
兩個含有二次根式的代數式相乘,如果他們的積不含有二次根式,那么這兩個代數式叫做互為有理化因式。
注意:①他們必須是成對出現的兩個代數式;②這兩個代數式都含有二次根式;③這兩個代數式的積化簡後不再含有二次根式;④一個二次根式可以與幾個二次根式互為有理化因式。
常用有理化因式有:
與 , 與 , 與 , 與 , 與 。
分母有理化
在分母含有根號的式子中,把分母的根號化去,叫做分母有理化。
分母有理化即將分母從非有理數轉化為有理數的過程,以下列出分母有理化的幾種方法:
1.直接利用二次根式的運算法則:
例: ﹙b不為0﹚
2.利用平方差公式:
例: ﹙a≠b﹚
3.利用因式分解:
例: (此題可運用待定係數法便於分子的分解)
4.利用約分:
﹙x,y不同時為0﹚
﹙x,y不同時為0﹚
分子有理化
把分子中的根號化去,叫做分子有理化。
﹙a≠b﹚
換元法
換元法即把根式中的某一部分用另一個字母代替的方法,是化簡的重要方法之一。
例:在根式 中,令 ,即可得到
(此處,x>=-2,u>=0)
當0<=u<=3時,則-2<=x<=7
原式=3-u + 5-u =8-2u;
當3<=u<=5時,則7<=x<=23
原式=u-3 +5-u =2;
當u>=5時,x>=23
原式=
運算
加減法
1.同類二次根式
一般地,把幾個二次根式化為最簡二次根式後,如果它們的被開方數相同,就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。 化簡:根號12等於4的根號3
2.合併同類二次根式
把幾個同類二次根式合併為一個二次根式就叫做合併同類二次根式。
3.二次根式加減時,可以先將二次根式化為最簡二次根式,再將被開方數相同的進行合併。
例如:(1) ;(2)
乘除法
二次根式相乘除,把被開方數相乘除,根指數不變,再把結果化為最簡二次根式。
1.乘法運算
用語言敘述為:兩個數的算術平方根的積,等於這兩個因式積的算術平方根。
推廣
(a≥0,b≥0)
2.除法運算
用語言敘述為:兩個數的算術平方根的商,等於這兩個數商的算術平方根。
推廣
(a≥0,b>0)
混合運算
二次根式混合運算與實數運算相同的運算順序相同,先乘方,在乘除,後加減,有括弧的先算括弧裡面的。
乘法公式
1. 型,運用分配律化簡,原式 。
2. , 直接運用平方差公式。
3. , 直接運用完全平方公式。
4. 型,運用分母有理化運算。
開平方運算
求一個非負數的平方根的運算,叫做開平方。開平方與平方互為逆運算。
運算方法
1.確定運算順序。
2.靈活運用運算定律。
3.正確使用乘法公式。
4.大多數分母有理化要及時。
5.在有些簡便運算中也許可以約分,不要盲目有理化(但最後結果必須是分母有理化的)。
6.字母運算時注意隱含條件和末尾括弧的註明。
7.提公因式時可以考慮提帶根號的公因式。
套用
二次根式的套用主要體現在兩個方面:
(1)利用從特殊到一般,再由一般到特殊的重要思想方法,解決一些規律探索性問題;
(2)利用二次根式解決長度、高度計算問題,根據已知量,求出一些長度或高度,或設計省料的方案,以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算,其實就是化簡求值。
共軛根式
共軛根式
兩個根式互為共軛根式,則他們互為有理化因式。
共軛虛根(證明)
形如:a+bi 和a-bi
【求根公式】:
對於任意一個一元二次方程 ,它的兩個根是 : , 。這是由配方法求得的公式。
當 時, 。
所以,方程的兩個根就變為 :
和 。
這樣,兩根的實部都為 ,兩根的虛部 和 互為相反數,兩根就成為了共軛的一對復根。
兩個實部相等,虛部互為相反數的複數互為共軛複數(conjugate complex number)(當虛部不等於0時也叫共軛虛數)。複數z的共軛複數記作z'。
根據定義,若 ( ),則 ( )。即共軛複數所對應的點關於實軸對稱。
1.代數特徵:
(1)
(2) (實數),
(3) (為一實數)
(4)
2.運算特徵:
(1)
1.代數特徵:
(1)
(2) (實數),
(3) (為一實數)
(4)
2.運算特徵:
(1)
(2)
(3)
(4) ( )
3.模的運算性質:
(1)
(1)
(2)
(3) ,是複平面的兩點間距離公式,由此幾何意義可以推出複平面上的直線、圓、雙曲線、橢圓的方程以及拋物線。
注意:z′表示複數z的共軛複數(實際形式為z上一橫),z″表示複數z的共軛複數的共軛複數(為z上兩橫)。
注意:z′表示複數z的共軛複數(實際形式為z上一橫),z″表示複數z的共軛複數的共軛複數(為z上兩橫)。