《分數階非線性偏微分方程的相關數學問題》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由霍朝輝擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分數階非線性偏微分方程的相關數學問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：霍朝輝
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
擬研究源於量子物理、水波、大氣物理、金融經濟等科學領域中具有實際套用背景的分數階的非線性偏微方程的相關數學問題。重點研究： 空間是分數階的非線性Schr?dinger 方程，時間是分數階的非線性Schrodinger 方程，擬研究其初值問題解的適定性問題。 此外擬研究一些經典的色散波方程如：KdV方程，一維帶導數的非線性Schr?dinger方程，一維Zakharov系統，Kadomtsev- Petviashvili-I方程；擬研究其初值問題解的最佳的適定性問題。本項目的主要方法是調和分析理論。 這都是具有很強的套用背景的問題，在國際非線性偏微分方程研究領域中是本質的和十分重要的前沿課題之一，具有重要的理論意義並在工程數值模擬中具有實際套用價值。
結題摘要
本項目在分數階非線性偏微分方程的相關數學問題的有關課題上取得了重要進展，主要包括：充分利用構造合適的具有小時間截斷的二進制型Bourgain空間，並把方程的線性部分的性質和非線性部分的性質（即方程的能量）結合起來考慮的方法,克服了只用單個性質的缺點；此外又引入了一個修正的能量方法。本項目把這些方法套用到與之相關的一些色散波方程上去。深入研究了五階Kadomtsev-Petviashvili-I方程解的局部適定性， 首次得到了在負指數空間中解的適定性結果；深入研究了三維Zakharov-Kuznetsov方程在能量空間中解的整體適定性；深入研究了三維Klein-Gordon-Zakharov方程在小初始值條件下解在能量空間中的整體適定性；深入研究了finite-depth-fluid方程和經典的Benjamin-Ono方程解的適定性，主要是在沒有利用Gauge變換的情形下，研究了它們的Cauchy問題解的適定性結果，改進了已有的結果；深入研究了五階KdV方程解的適定性，改進了已有的結果。此外本項目還利用調和分析技術研究了一些流體力學的模型。 這些課題的進展在數學上有一定的理論意義，在量子力學，流體力學，和水波等方面有一定的實際套用價值。其中共發表和接受8篇論文， 投出去3篇。
