《一類Robin反問題的數值解法》是依託汕頭大學，由林福榮擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：一類Robin反問題的數值解法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：林福榮
- 依託單位：汕頭大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Robin反問題是來自偏微分方程的非線性反問題，有廣泛的套用背景，例如非破壞性估測技術的定量分析、溫度與熱流量的確定以及冰原預報的初始化等。由於Robin反問題套用廣泛且求解難度大，其數值解法一直是一個研究熱點。對該反問題的數值解法作深入系統的研究，具有重要的科學意義和套用價值。.本項目以邊界積分方程為工具研究一類Robin反問題的數值解法。基礎研究內容是構造核函式有弱奇性的積分運算元的高精度離散公式、矩陣-向量快速相乘新算法和新的罰函式。這些基礎研究內容有很好的可移植性，預期成果可以推廣套用於有弱奇異核的積分方程和一些類型的不適定問題。我們計畫把Robin反問題轉化為極小化問題，並根據Robin係數的光滑性質提出不同的罰函式，得到不同的正則化極小化問題，然後研究這些極小化問題的快速數值求解方法。.預期分別得到求解連續、分段/分塊常數和分段/分塊連續Robin係數的有效數值方法。
結題摘要
Robin反問題是來自偏微分方程的非線性反問題，有廣泛的套用背景。由於Robin反問題套用廣泛且求解難度大，其數值解法一直是一個研究熱點。對該反問題的數值解法作深入系統的研究，具有重要的科學意義和套用價值。 本項目的主要研究內容有：不光滑核的積分運算元的高精度離散方法及其套用；分數階擴散微分方程的幾個二階精度方法的優劣；二維Robin反問題和第一類積分方程的正則化及求解，H1正則化方法的正則化參數的確定；分數階偏微分方程的快速求解方法；圖像恢復和圖像加密問題。 主要成果如下：（1）設計求解二維Robin反問題的共軛梯度法、牛頓方法和非線性互補方法等，用於求解連續Robin係數或分段常數Robin係數。這些成果有較好的學術意義。（2）提出一種確定H1正則化方法的參數的簡單方法。該算法的優勢在於能夠確定當前參數過大還是過小，計算過程簡單，非常實用。該方法可以較好地處理實際套用中常見的白噪聲。由於一些噪聲可以處理後化為白噪聲，因此，這一成果具有較好的套用前景。（3）在Robin邊界問題的離散矩陣的結構的研究方面得到一定的成果：當Laplace方程所在區域為橢圓區域時，離散矩陣有良好的結構。這一結果為下一步的研究提供了基礎。（4）在一些相關問題的快速算法或正則化方法的研究中取得不錯的成果，包括分數階偏微分方程的預處理Krylov子空間方法和多重格線方法，圖像去模糊的加權H1正則化方法及最佳化相應問題的快速求解。（5） 深入分析Nystrom-Clenslaw-Curtis (NCC) 方法，並將NCC方法套用於Fredholm積分方程和Volterra積分方程。NCC方法是適用於不光滑核的積分運算元，與譜方法有類似的精度，但計算量和方程的形式比譜方法簡單，特別是對非線性積分方程，NCC方法更具優勢。 本項目已發表文章17篇，其中SCI收錄文章7篇；培養博士研究生4名，碩士研究生8名。
