《基於近似廣義對稱的擾動非線性方程的若干問題》是依託西北大學，由張順利擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：基於近似廣義對稱的擾動非線性方程的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張順利
- 依託單位：西北大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非線性偏微分方程刻畫了自然科學和社會科學等領域的非線性現象。隨著非線性科學的不斷發展，擾動非線性偏微分方程的對稱、求解及其相關問題，已成為眾多科技工作者研究的熱點。本項目著重研究擾動非線性方程的近似廣義對稱、近似解與近似守恆律。主要包括：（1）建立和完善擾動非線性方程的導數相關泛函分離變數法；（2）建立和完善擾動非線性方程的近似廣義條件對稱和近似求解的一般理論和方法；（3）建立和完善擾動非線性方程可近似廣義條件對稱約化為低維擾動方程的初值、初邊值和自由邊值問題的基本理論和方法；（4）發展和完善擾動非線性方程的近似廣義對稱與近似守恆律的理論和方法。這些前沿課題的研究成果將會豐富數學、物理學等的經典理論並有望建立新的、行之有效的數學物理方法，以便提供更好地解決實際問題的理論和手段。
結題摘要
非線性偏微分方程刻畫了自然科學和社會科學等領域的非線性現象。隨著非線性科學的不斷發展，非線性偏微分方程的對稱、求解及其相關問題，已成為眾多科技工作者研究的熱點。本項目著重研究了若干非線性方程的不變集、不變子空間、對稱分類及求解、守恆律等問題，並將一些理論推廣到時間分數階演化系統。此外，還對一些非線性生物模型和化學模型進行了定性研究。取得了以下主要成果：（1）證明了一類(1 + 2)-維波動方程在特定不變集下存在某種特解。給出了三階平方運算元容許極大維不變子空間的完全分類，進而導出了具有該運算元的演化方程的一些特解；（2）給出了二階非線性演化方程在相關變換的半單群下的完全分類，給出了KdV型方程在Galilei對稱下不變方程及不變解解的完全分類。更進一步，將群理論和相容Riccati展開法推廣套用到幾類時間分數階演化系統；（3）獲得了(2+1)維非線性非色散長波 (DLW) 系統的非局部對稱、相互作用解和無窮多守恆律。證明了(2+1)維修正的色散水波(MDWW)系統的非線性自伴隨性，獲得了其守恆律和Soliton-Cnoidal波相互作用解；（4）分別對Lotka-Volterra捕食-食餌模型、Lengyel-Epstein反應擴散模型進行了定性分析研究。這些前沿課題的研究成果將會豐富數學、物理學、生物學等領域的經典理論並通過創建這些新的、有效的數學物理方法，以便提供更好地解決實際問題的理論和手段。
