函式的相關性

設y1=x1+x2，y2=x1^2+x2^2，y3=x1*x2，這三個函式之間有下述關係：y1^2-y2-2y3=0。像這樣三個函式被稱為函式相關的。但若只考慮y1、y2，那就不可能找到y1和y2之間的一個恆等式，於是這兩個函式之間被稱為函式無關的。

基本介紹

• 中文名：函式的相關性 
• 外文名：dependence of functions 
• 相關：函式相關定理是隱函式定理的最好運用 
• 分類：數學 
• 套用學科：數學分析 
• 相關名詞：函式 

定義

設函式組（如圖1）簡記作 ，在 的某領域內有定義，又設 ，則若且唯若存在函式 在 的任意領域里不恆等為零，使得 在 的領域裡成立時， 稱為在 處函式相關，否則為函式無關。若且唯若在區域 （ 屬於 ）內處處函式相關糠嫌鴉時，稱為在 內函式相關。若且唯若在提鞏灑櫻 內處處無關時，才稱在 內函式無關。

圖1

在區域 內處處函式無關時，也可稱為函式獨立。

判斷定理

定理1若雅可比矩陣 在點 處的秩 ，則膠櫻抹 在 處函式無關。

證明因秩 ，故存在 階的行列式不為零。只要改變一下編號，便可假設行列式（如圖2）的值不等於零，根據隱函式存在定理，對於定義中的函式方程組及點 存在 的領域，使得 可寫為 的函式，適合該函式方程組，且 時， （ 的某一領域）。這表明函式方程組所確定的映射 使 某領域的像填滿了 的某個領域，故 在 處函式無關。

圖2

推論：（1）若 的雅克比行列式在內處處不等於零，則 在 內函式無關。即當雅克比行列式 （於 ）時 在 內函式無關。

（2）若 在 處函式相關，則矩多臭膠烏陣 在 處秩 。

例函式組 ， 的雅可比矩陣（如圖3）中，有一個二階行列式無零點，所以這兩個函式是函式無關的。

圖3

定理2設 在點 的某領域里有連續的一階偏導數，雅可比矩陣 在 附近的秩 ，且這 個函式的行列式（如圖4）不等於零，則：（1）在處函式無關；（2）在處函式相關。

圖4

特殊情況

線性代數中，齊次線性函式組 的線性相關概念是函式相關的一個特殊情況。注意函式無關性是局部概念，即一組函式在一點無關，而在另一點卻函式相關。但線性相關或線性無關則是整體性概念，即在整個 空間中，線性函式組民寒笑要么線性相關，要么線性無關。

由推論1可以得出結論，如果齊次線性函式組函式相關（在某點），則它們必定線性相關（在整個 空間上）。

定理3 設齊次線性函式組（如圖5），則以下三個條件等價：

圖5

（1） 在某點 處函式相關；（2） 線性相關；（3）在 中函式相關。

證明 （1）=>（2），設(如圖6），因 在 處函式相關，知 在 處的秩 ，從而係數矩陣（ ）的秩 ，故 線性相關。

（2）=>（3），因為 線性相關，故存在不兆重全為零的常數 使得 （於 ），所以 在 中處處函式相關。

（3）=>（1），明顯成謎婚達立。

圖6

套用

數據依賴，是指一個關係內部屬性與屬性之間的一種約束關係。數據依賴主要包括函式依賴（Functional Dependency，簡記為FD）和多值依賴，而函式依賴也就是函式的相關性，它描述了一個關係框架的屬性之間的聯繫。例如，假設A和B是關係R的屬性，如果A的每個值都與B中的一個值對應，那么B就函式依賴於A（表示為A B）。（A和B均可能由一個或多個屬性組成），或者說關係R滿足函式相關性X Y，其中，X稱為FD X Y的左邊，Y稱為右邊。

Armstrong公理為一組推理規則，根據該推理規則，可用邏輯推理的方法，由已知成立的一些函式相關性推導出新的函式相關性。

Armstrong公理為一組推理規則，根據該推理規則，可用邏輯推理的方法，由已知成立的一些函式相關性推導出新的函式相關性。