互相關

兩個函式互相關的含義是：對兩個函式分別作複數共軛和反向平移並使其相乘的無窮積分，或者說：第一個函式依次作復共軛和平移後與第二個函式相乘的無窮積分。可以證明，兩個定義完全等價(可以互相導出)。從物理上看，互相關運算的結果反映了兩個信號之間相似性的量度。特別是對於實函式f(x)和h(x)而言，其相關運算相當於求兩函式的曲線相對平移 1個參變數x後形成的重疊部分與橫軸所圍區域的面積。

基本介紹

• 中文名：互相關
• 外文名：Cross correlation
• 所屬學科：數學、物理等
• 相關概念：相關、卷積、傅立葉變換等

定義

兩個函式f(x)和h(x)的互相關，由含參變數x的無窮積分定義，即

或

類似於卷積，這裡，參變數x和積分變數x′均為實數，函式f(x)和h(x)可以是實數，也可以是複數。

(1)式表明，兩個函式互相關的含義是：對兩個函式分別作複數共軛和反向平移並使其相乘的無窮積分。(2)式表明，兩個函式互相關的含義是，第一個函式依次作復共軛和平移後與第二個函式相乘的無窮積分。可以證明，兩個定義式完全等價(可以互相導出)。從物理上看，互相關運算的結果反映了兩個信號之間相似性的量度。特別是對於實函式f(x)和h(x)而言，其相關運算相當於求兩函式的曲線相對平移 1個參變數x後形成的重疊部分與橫軸所圍區域的面積。

為了簡化算式，通常特引入相關運算符號“⊗”，這樣便可將f(x)和h(x)的互相關表示為

互相關的性質

互相關有如下性質：

1) 互相關運算一般不服從交換律，即

但可以證明

並且，當函式f(x)和h(x)均為實數時，有

2) 互相關與卷積的意義不同，但互相關可以用卷積表示，即

顯然，只有當函式h(x)為實的偶函式時，才有

由於相關與卷積的這種聯繫，相關運算的其他性質以及存在條件，可以利用其與卷積的關係，由卷積的相應性質導出。類似地，定義二維複函數f(x，y)和g(x，y)的互相關為

同樣，一維函式互相關的所有性質同樣適用於二維函式的互相關，此處不再贅述。