冪零群

簡介

在群體理論中，冪零群是“差不多的阿貝爾”群體。這個想法的出現是由於冪零群是可解的，而對於有限的冪零群來說，是可以超解的（supersolvable）。這個概念被俄羅斯數學家謝爾蓋切爾尼科夫在20世紀30年代編輯出來。

和群體的分類一樣，伽羅瓦理論中也出現了冪零群。同樣的，他們也在李群的分類中被突出的顯示出來。

類似術語用於李代數（使用李括弧），包括冪零，下中央系列和上中央系列。

該定義使用這個想法：用自己來解釋群的中央系列。以下是等效的定義方式：

（1）冪零群是具有有限長度的中心繫列的群。

（2）冪零群是一個低級中心繫列在有限步驟之後終止於普通群中的群。

（3）冪零群是一個上中心繫列在有限的步驟之後終止於整個群的群。

對於冪零群，最小的n使得G具有長度為n的中心繫列被稱為G的冪零級；而G被認為是級數n的冪零。（根據定義，如果系列中有n + 1個不同的子群，包括普通的子群和整個群，那么長度為n。

同樣的，G的冪零群是下中央系列或上中央系列的長度。如果一個群的冪零級最大是m，那么它有時被稱為

群。

冪零級是0的群是唯一的，並且級別為1的冪零群正是高級的阿貝爾群。

（1）如上所述，每個阿貝爾群都是冪零群。

（2）對於一個小的非阿貝爾群的例子，考慮一個四元群Q₈，它是一個最小的非阿貝爾p群。它具有階數2的中心{1，-1}，其中心繫列為{1}，{1，-1}，Q8; 所以這是級別為2的冪零群。

（3）所有有限的p組實際上都是冪零群。pⁿ群的最大階數是n-1。

（4）兩個冪零群的直接計算結果還是冪零群。

（5）相反，每個有限的冪零群是p組的直接乘積。

（6）海森堡群是非阿貝爾群，但卻是冪零群。

（7）任何場F上的上單位三角形n×n矩陣的乘法組是冪零長度n-1的冪零群。

（8）場F上的可逆上三角形n×n矩陣的乘法組不是一般的冪零群。

之所以叫冪零群，是因為任何元素的“伴隨動作”是冪零的，這意味著對於冪零群G的冪零度n和元素g，函式

是由

定義的（其中

是g和x的換向公式），第n次疊代是冪零的：

。

這不是冪零群的定義特徵：

是n的冪級的群被稱n-恩格爾群，一般不需要是冪零的。

由於上中央序列中的每個連續因子群Z_{i + 1} / Z_i是阿貝爾的，並且集也是有限的，所以每個冪零群是具有相對簡單結構的可解群。