基本介紹
- 中文名：弗羅貝尼烏斯群
- 外文名：Frobenius group
- 領域：代數
- 性質：傳遞置換群
- 特點：非正則群
- 命名人物：弗羅貝尼烏斯
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概念
弗羅貝尼烏斯群(Frobenius group)是一類重要的傳遞置換群。Ω上的傳遞置換群G，若G不是正則群，但G中除去恆等置換外的各元素至多有一個不動點，則稱G為弗羅貝尼烏斯群。當|Ω|=4時，在交錯群A4內只有恆等置換、二階元素和三階元素，其中二階元素都沒有不動點，而三階元素都恰有一個不動點，從而A4為弗羅貝尼烏斯群。關於這一類群有一個著名的弗羅貝尼烏斯定理：若G是Ω上的一個弗羅貝尼烏斯群，則G中全部在Ω上沒有不動點的元素，連同G的單位元素組成G的一個正則的正規子群.這個定理早在1902年就由弗羅貝尼烏斯(Frobenius，F.G.)證明了，但不論是弗羅貝尼烏斯的原始證明，還是以後改進了的證明，都需要使用群特徵標理論，人們尋求純粹群論證明的努力一直未獲成功。上面所說的正則正規子群稱為G的弗羅貝尼烏斯核.而Ω中任何一點在G內的穩定子群稱為G的一個弗羅貝尼烏斯補。關於弗羅貝尼烏斯群有一個著名猜想：弗羅貝尼烏斯核是冪零群。這個猜想於20世紀60年代初被湯普森(Thompson，J.G.)證實。
一個抽象群G，若它有一個子群H，使得對G的任何不包含在H內的元素g，等式H∩H=1成立，則也稱G是(關於H的)一個弗羅貝尼烏斯群。從這個定義可以看出，抽象群G是(關於H的)一個弗羅貝尼烏斯群是反映G同構於一個傳遞置換群，後者作為置換群是弗羅貝尼烏斯群，並且在上述同構下，H的像恰好是一個點的穩定子群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
置換群
置換群是由置換組成的群。n元集合Ω={a1，a2，…，an}到它自身的一個一一映射，稱為Ω上的一個置換或n元置換。
有限群在其形成時期幾乎完全在置換群的形式下進行研究，拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作里，引進了n個根的一些函式進行研究，開創了置換群的子群的研究，得到“子群的階整除群的階”這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中，對置換群進行了詳細的考察，引進了群的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下，柯西發表了關於置換群的重要文章(1815)。他以方程論為背景，證明了不存在n個字母(n次)的群，使得它對n個字母的整個對稱群的指數小於不超過n的最大素數，除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換群的理論做出了最重要的貢獻，他引進了正規子群、兩個群同構、單群與合成群等概念，發展了置換群的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所了解。柯西在1844—1846年間，寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結果系統化，證明了伽羅瓦的斷言：每個有限(置換)群，如果它的階可被一個素數p除盡，就必定至少包含一個p階子群。他還研究了n個字母的函式在字母交換下所能取的形式值(即非數字值)，並找出一個函式，使其取給定數目的值。
置換群的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中，他本人還發展了置換群理論及其套用。
傳遞群
傳遞群是集合Ω在置換群G下保持不變的某些子集。設G是集合Ω上的置換群，Δ是Ω的一個子集合，若Δ滿足下列兩個條件，則稱Δ為G的一個軌道：
1.Δ中任何點在G中任何元素下的像都在Δ內.
2.對Δ中任何兩個點α，β，總有G中一個元素g，使α=β.
例如：Ω={1，2，3，4，5}，若G是由元素g=(1，2)(3，4，5)生成的置換群，則Δ1={1，2}，Δ2={3，4，5}是G的軌道。而Ω本身由於不滿足條件2，所以不是軌道.集合{3，4}不滿足條件1，從而也不是軌道.軌道還可以用另外的方法定義：把Ω的滿足上述條件1的子集合Δ稱為G在Ω上的不變區，若Δ是G的不變區，而Δ的任何真子集都不是G的不變區，則稱Δ為軌道。這兩個定義是等價的.若α∈Ω，則集合α={α|g∈G}就是G在Ω上包含點α的軌道。G在Ω上的任何兩個不同的軌道的交為空集，所以Ω是G的軌道的無交並.若G是Ω上的置換群，而Ω本身是一個軌道，則稱G是Ω上的傳遞群。置換群論研究的主要內容是傳遞群。
正則群
正則群是一類特殊的置換群。設G為Ω上的一個置換群，若對任何α∈G，穩定子群Gα僅由恆等置換組成，則稱G為Ω上的半正則群。若半正則群G在Ω上是傳遞的，則稱G為Ω上的正則群。在半正則群內，任何非單位元素的次數等於群G的次數。若G是Ω上的半正則群，則Ω為G的一些等長的軌道的並集，而且每個軌道的長度都等於G的階|G|。因此，半正則群G的階是|Ω|的因子。若G是Ω上的正則群，則|Ω|=|G|。
人物簡介
弗羅貝尼烏斯是德國數學家。生於柏林，卒於柏林夏洛滕堡(Ch arlottenburg)。1867年在哥廷根學習數學。1870年獲博士學位，1874年任柏林大學教授。1893年當選為柏林普魯士科學院院士。他的研究涉及群論的三個方面：代數方程的解，包括伽羅瓦理論的置換群;②幾何，與有窮和無窮變換群及李群相聯繫;③數論，用到二次型的複合與加法群。代表作有《關於可換元素群》(Ueber Gru ppen von vertauschbaren Elementen，1879)、《有限群》(Uber endliche Gruppen，1895)和《群特徵標》(U-ber die Gruppencharaktere，1896)等。論述的核心是群的特徵理論，為此引入“秩”的概念。還研究了特徵多項式，不變因子和初等因子的性質。這種理論有著廣泛的適用性，解決了一大批長期以來懸而未決的問題。另外，他在超複數系，微分方程的級數解、解析函式的冪級數和發散級數等方面也有建樹。福賽思(Forsyth，Andrew Russell，1858.6.18—1942.6.2) 英國數學家。生於蘇格蘭格拉斯哥(Glasgow)，卒於倫敦。1877年就學於劍橋三 一學院。是凱萊的學生。1881年畢業時以數學優異成績留校執教，次年主持利物浦大學學院數學講座。1884年回劍橋任教。兩年後當選為皇家學會會員。他的名作《函式論》(Theory of Functions，1893)被認為是自牛頓《原理》以來對英國數學影響較大的專著之一，為數學現代化起了引導作用。另外著有《變分學》(Calculusof Variations，1927)、《理想空間的內蘊幾何學》(Intrinsic Geometryof Ideal Space，1935)等書。
