《兩類非線性橢圓型偏微分方程中的若干問題》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由周煥松擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：兩類非線性橢圓型偏微分方程中的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：周煥松
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究以量子物理和幾何為背景的兩類非線性橢圓型方程中的一些問題。對來源於量子物理中非線性Schr?dinger方程（NLS方程）駐波解研究的一類非線性橢圓型方程即所謂的定態NLS方程，研究某些特殊位勢對方程解的存性和性質的影響、分析解的分歧性質，並對相應的雙調和問題建立類似的結果；在此基礎上，我們擬研究與定態NLS方程解相對應的含時NLS方程的駐波解的穩定性；對具有與Poisson方程耦合的NLS方程即所謂的非線性Schr?dinger-Poisson方程（NSP方程），當非線性項指標在特定範圍時，尋求新的方法研究其解的存在性；對具有奇異位勢的NSP方程，研究其束縛態解或非球對稱解的存在性；對具有含參數位勢的NSP方程，討論其解對參數的依賴性；對源於幾何中預定曲率問題的完全非線性的k-Hessian方程，我們期望（至少對某些k）利用變分的思想來研究其有關解的唯一性和解的水平集的凸性
結題摘要
該項目圍繞一類具有重要物理背景的非線性Schrodinger方程（組）和一類具有幾何背景的完全非線性橢圓型方程解、變號解、解的各種性質（如解衰減性、漸近性、水平集凸性等）進行了系統的研究，完成了預定的研究目標。代表性結果概述如下： 對於單個穩態的非線性Schrödinger (NLS)方程，在常位勢的情形，我們將超線性問題有關變號解的能量性質很好地推廣到了漸近線性的問題，並發現當NLS方程含有變號位勢時，其變號解的能量性質與常位勢情形有著本質的不同（如解的最低能量與Nehari流形上的約束最小解的能量不相等），在適當的條件下我們證明了含變號位勢的NLS方程的束縛態解和基態解的存在性，討論了變號解的能量性質；對於一類具有臨界頻率的NLS方程，通過簡單的變分方法我們分析了當非線性項的增長指標逼近質量臨界指標時，解的集中和爆破現象。此外，我們還研究了一般的非線性Schrödinger方程(擬線性Schrödinger方程)的駐波解，建立了一類同時具有臨界增長和Hardy位勢的擬線性Schrodinger方程駐波解的存在性。 對於高維空間中具有非零邊界條件的Gross–Pitaevskii（GP）方程，我們在三維空間中給出了GP方程行波解穩定性的嚴格數學證明，分析了行波解的穩定性與行波速度之間的關係，給出了判斷行波解的穩定性的判決條件。 對於Schrödinger-Poisson (SP)方程組，討論了位勢阱深度以及非局部項係數對解的存在性和性質的影響，建立解的先驗估計和衰減估計，並分析了解關於相應參數的漸近性態；研究了SP方程組在非線性項具有小擾動時至少兩個解的存在，其中一個具正的能量而另一個則具負能量，值得一提的是我們允許非線性項的增長階在1和2之間這一難以處理的情形，並且我們給出了擾動項小性的一個顯式界；此外，我們還討論了具有奇異位勢的SP方程組非球對稱解、無窮多負能量解的存在性等等。 在完全非線性橢圓型方程方面，我們找到了環形區域上一般的完全非線性橢圓方程 F(D^2u,Du,u,x)=0的Dirichlet邊值問題解的水平集嚴格凸的充分條件,該條件比已有的結果更廣（如: 我們允許運算元F為平均曲率運算元，而已有的結果則不能）。此外，還得到了水平集主曲率的下界估計，這是凸性研究更為細緻具體的刻畫，以往鮮有這樣的結果。該項目部分資助了博士生4人碩士生5人博士後3人
