傳遞函式矩陣

傳遞函式矩陣(transfer function matrix)表示線性定常控制系統輸入向量對狀態向量、輸入向量對輸出向量傳遞關係的矩陣。用於多輸入多輸出控制系統的分析研究。

基本介紹

• 中文名：傳遞函式矩陣
• 外文名：transfer function matrix
• 定義：線性定常控制系統輸入向量對狀態向量、輸入向量對輸出向量傳遞關係的矩陣

簡單系統

一控制系統的狀態空間表達式如下

簡寫為（A、B、C、D）}

式中x為n維狀態向量；y為q維輸出向量；u為p維輸入向量；A為n×n維系統矩陣；B為n×p維輸入矩陣；C為q×n維輸出矩陣；D為q×p維前饋矩陣。

假定系統初始狀態為0，其拉普拉斯變換後的表達式為

式中(sI-A)B稱為輸入-狀態傳遞函式矩陣；C(sI-A)B十D稱為輸入-輸出傳遞函式矩陣，簡稱傳遞函式矩陣，它是一個q×p維矩陣，它的每一個元素反映了某個輸入變數對某個輸出變數的傳遞函式。一個控制系統的傳遞函式矩陣是一定的，不因坐標變換而變化。

複雜系統

實際的控制系統往往由多個子系統組合而成，或並聯，或串聯，或形成反饋連線，或是它們的組合。組合系統的輸入-輸出傳遞函式矩陣可由各子系統的輸入-輸出傳遞函式矩陣組合而成。圖1為基本組合系統的框圖。圖(a)示出兩個子系統的並聯，其輸入-輸出傳遞函式矩陣W(s)=W₁(s)+W₂(s)，式中W₁(s)，W₂(s)分別為子系統(A₁，B₁，C₁，D₁)和(A₂，B₂，C₂，D₂)的輸入-輸出傳遞函式矩陣。圖(b)示出兩個子系統的串聯，其輸入-輸出傳遞函式矩陣為W(s)=W₂(s)W₁(s)。圖(c)示出由反饋子系統構成的組合系統，其輸入-輸出傳遞函式矩陣為W (s)=W₁ (s) [I+W₂(s)W₁(s)]或W(s)=[I+W₁(s)W₂(s)]W₁(s)。

圖1

當控制系統維數不高時，可直接由adj(sI-A)/|sI-A|求得(sI-A)，其中|sI-A|為(sI-A)矩陣的行列式，adj(sI-A)為(sI-A)矩陣的伴隨矩陣。當控制系統維數較高時，這樣的方法計算過程太複雜，可用其他更簡便的方法。

對許多實際系統而言，D矩陣往往是0矩陣，|sI-A|的根為系統的極點，Cadj (sI-A)B中各元素多項式的根為系統的零點。存在零點、極點相消的情況下，傳遞函式矩陣就不能完全描述系統的運動規律及性能，只能反映系統完全可控且完全可觀測部分的情況。