對偶系統

如果有兩個系統Σ和Σ*，Σ的輸入係數矩陣等於Σ*的輸出係數矩陣的轉置，Σ的輸出係數矩陣等於Σ*的輸入係數矩陣的轉置，Σ的狀態轉移矩陣等於Σ*的狀態轉移矩陣的轉置的逆，那么，系統Σ的狀態可控性必定等價於系統Σ*的狀態可觀性，系統Σ的狀態可觀性必定等價於系統Σ*的狀態可控性滿足上述關係的兩個系統Σ和Σ*互為對偶系統。

基本介紹

• 中文名：對偶系統
• 外文名：dual system
• 所屬學科：數理科學
• 註明：兩個規劃模型中變數非負
• 相關概念：線性系統、狀態向量等

基本介紹

考慮線性時變系統：

其中， 為n維狀態向量， 為p維輸人向量， 為q維輸出向量。 、 、 和 分別為 和 時變矩陣。

定義1 對於線性時變系統(1)，根據系統矩陣構造如下形式的時變系統：

其中， 為n維狀態向量， 為q維輸入向量。 為p維輸出向量。稱系統(2)為系統(1)的對偶系統。

原系統與其對偶系統之間的屬性

下面介紹原線性系統與其對偶系統之間具有的屬性。

系統結構圖的對偶性

對偶系統的結構圖如圖1所示。從圖中可看出，互為對偶的系統在結構上，如信號流向、狀態、輸入和輸出的作用點、求和點位置等呈現對偶屬性。如果稱結構圖左部的量為“輸入量”，結構圖右部的量為“輸出量”，則圖(a)表示用“輸入量”控制“輸出量”，是一個控制問題；圖(b)表示用“輸出量”求得“輸入量”，是一個估計問題。因此，對偶性原理揭示了最優控制和最優估計之間的內在聯繫。

對偶系統的線性屬性和時變屬性

若原系統(1)為線性系統，則其對偶系統(2)也為線性系統；若原系統(1)為時變(或定常)系統，則其對偶系統(2)也為時變(或定常)系統。

狀態轉移矩陣的對偶性

原線性系統(1)的狀態轉移矩陣為 ，其對偶系統(2)的狀態轉移矩陣為 ，則由狀態轉移矩陣的性質可知，兩者之間存在如下的關係：

時序的對偶性

若原線性系統(1)的運動是狀態點在狀態空間中，由至正時向轉移，則其對偶系統(2)的運動是狀態點在狀態空間中，由至反時向轉移。

圖1（a）原系統

圖1（b）對偶系統

參數矩陣的對偶性

若記原線性系統與其對偶系統分別為和，則原線性系統與其對偶系統的參數矩陣之間具有如下對應關係：

系統矩陣=一系統矩陣的轉置，

輸入矩陣=輸出矩陣的轉置，

輸出矩陣=輸入矩陣的轉置。

對偶系統的性質

若系統和系統互為對偶，且系統的傳遞函式矩陣為，系統的傳遞函式矩陣為，則有

也就是說，互為對偶的系統其傳遞函式陣是互為轉置的。

由於

所以還可以看出，互為對偶的系統其特徵方程是相同的。