偏微商

在數學中，一個多變數的函式的偏微商，又稱偏導數，是它關於其中一個變數的導數，而保持其他變數恆定（相對於全導數，在其中所有變數都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。

簡介

令二元函式 的自變數 保持定值 ，這時 就成為自變數 的一元函式。如果這個一元函式 在 處的微商存在，則稱此微商為函式 在點 處對 的偏微商（或偏導數）。

函式 關於變數 的偏導數寫為 或 。偏導數符號是全導數符號 的變體，這個符號是阿德里安-馬里·勒讓德引入的，並在雅可比的重新引入後得到普遍接受。

假設ƒ是一個多元函式。例如：

因為曲面上的每一點都有無窮多條切線，描述這種函式的導數相當困難。偏導數就是選擇其中一條切線，並求出它的斜率。通常，最感興趣的是垂直於y軸（平行於xOz平面）的切線，以及垂直於x軸（平行於yOz平面）的切線。

一種求出這些切線的好辦法是把其他變數視為常數。例如，欲求出以上的函式在點（1, 1, 3）的與xOz平面平行的切線。右圖中顯示了函式的圖像以及這個平面。左圖中顯示了函式在平面y= 1上是什麼樣的。我們把變數y視為常數，通過對方程求導，我們發現 在點 的。我們把它記為：

於是在點（1, 1, 3）的與xOz平面平行的切線的斜率是3。

在點（1, 1, 3），或稱“ 在（1, 1, 3）的關於x的偏導數是3”。

圖1 f=x2+xy+y2的圖像

定義

函式f可以解釋為y為自變數而x為常數的函式：

也就是說，每一個x的值定義了一個函式，記為f_x，它是一個一元函式。也就是說：

一旦選擇了一個x的值，例如a，那么f(x,y)便定義了一個函式f_a，把y映射到a+ay+y：

在這個表達式中，a是常數，而不是變數，因此f_a是只有一個變數的函式，這個變數是y。這樣，便可以使用一元函式的導數的定義：

以上的步驟適用於任何a的選擇。把這些導數合併起來，便得到了一個函式，它描述了f在y方向上的變化：

這就是f關於y的偏導數，在這裡，∂是一個彎曲的d，稱為偏導數符號。為了把它與字母d區分，∂有時讀作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。

一般地，函式f(x₁,...,x_n)在點（a₁,...,a_n）關於x_i的偏導數定義為：

在以上的差商中，除了x_i以外的所有變數都是固定的。這個固定值的選擇決定了一個一元函式，根據定義，

這個表達式說明了偏導數的計算可以化為一元導數的計算。

多變數函式的一個重要的例子，是歐幾里德空間R（例如R或R）上的標量值函式f(x₁,...x_n)。在這種情況下，f關於每一個變數x_j具有偏導數∂f/∂x_j。在點a，這些偏導數定義了一個向量：

這個向量稱為f在點a的梯度。如果f在定義域中的每一個點都是可微的，那么梯度便是一個向量值函式∇f，它把點a映射到向量∇f（a）。這樣，梯度便決定了一個向量場。

一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間R中用單位向量來定義Nabla運算元(∇) 如下:

或者，更一般地，對於n維歐幾里得空間R的坐標(x₁, x₂, x₃,...,x_n)和單位向量():

例子

圓錐的體積與它的高度和半徑有關

考慮一個圓錐的體積V；它與高度h和半徑r有以下的關係：

V關於r的偏導數為：

它描述了高度固定而半徑變化時，圓錐的體積的變化率。V關於h的偏導數為：

它描述了半徑固定而高度變化時，圓錐的體積的變化率。

現在考慮V關於r和h的全導數。它們分別是：

以及

現在假設，由於某些原因，高度和半徑的比k需要是固定的：

這便給出了關於r的全導數：

可以化簡為：

類似地，關於h的全導數是：

含有未知函式的偏導數的方程，稱為偏微分方程，它在物理學、工程學，以及其它套用科學中經常會見到。

與關於r和h二者相關的全導數是由雅可比矩陣給出的，它的形式為梯度向量

記法

在以下的例子中，設f為x、y和z的函式。

f的一階偏導數為：

二階偏導數為：

二階混合偏導數為：

高階偏導數為：

當處理多變數函式時，有些變數可能互相有關，這樣就需要明確指定哪些變數是固定的。在諸如統計力學的領域中，f關於x的偏導數，把y和z視為常數，通常記為：

正式定義和性質

像導數一樣，偏導數也是定義為一個極限。設U為R的一個開子集，f:U→R是一個函式。我們定義f在點a= (a₁, ...,a_n) ∈U關於第i個變數x_i的偏導數為：

即使在某個給定的點a，所有的偏導數∂f/∂x_i(a)都存在，函式仍然不一定在該點連續。然而，如果所有的偏導數在a的一個鄰域記憶體在並連續，那么f在該鄰域內完全可微分，且全導數是連續的。在這種情況下，我們稱f是一個C函式。

偏導數可以視為定義在U內的另外一個函式，並可以再次求偏導數。如果所有的混合二階偏導數在某個點（或集合）連續，我們便稱f為在該點（或集合）的一個C函式；在這種情況下，根據克萊羅定理，偏導數可以互相交換：