全導數

全導數

已知二元函式z=f(u,v),其中u、v是關於x的一元函式,有u=u(x)、v=v(x),u、v作為中間變數構成自變數x的複合函式z,它最終是一個一元函式,它的導數就稱為全導數。全導數的出現可以作為一類導數概念的補充,其中滲透著整合全部變數的思想。對全導數的計算主要包括一一型鎖鏈法則、二一型鎖鏈法則、三一型鎖鏈法則,其中二一型鎖鏈法則最為重要,並且可以將二一型鎖鏈法則推廣到更加一般的情況n一型鎖鏈法則。

基本介紹

  • 中文名:全導數
  • 外文名:Total derivative
  • 本質:作為一類導數概念的補充
  • 特別注意:二元函式連續、可導、可微的關係
  • 重要定理:各種鎖鏈法則
  • 套用學科:高等數學
定義,相關定理,一一型鎖鏈法則,二一型鎖鏈法則,三一型鎖鏈法則,典例,例1,例2,

定義

設z是u、v的二元函式z=f(u,v),u、v是x的一元函式u=u(x)、v=v(x),z通過中間變數u、v構成自變數x的複合函式。這種兩個中間變數、一個自變數的多元複合函式一元函式,其導數稱為全導數。

相關定理

一一型鎖鏈法則

在中間變數只有一個時,如z=f(u,x),它在相應點有連續導數,則可得一一型全導數鎖鏈法則,即:

二一型鎖鏈法則

設u=u(x)、v=v(x)在x可導,z=f(u,v)在相應點(u,v)有連續偏導數,則複合函式z=f(u(x),v(x))在x可導,且有:
證明:對於自變數x的該變數△x,變數u=u(x)、v=v(x)的改變數△u,△v,進一步有函式的該變數△z,因為函式z=f(u,v)可微,即有
對上式左右兩端同除△x,得到:
又因為u=u(x)、v=v(x)可導,當
時,對上式左右兩端同時取極限,則有:
至此,證明完畢。

三一型鎖鏈法則

在中間變數多於兩個時,如z=f(u,v,w),而u=u(x)、v=v(x)、w=w(x),類似可得三一型全導數鎖鏈法則,即:

典例

例1

z=f(x,y)有連續的偏導數
,求複合函式的全導數。
解:由二一型全導數鎖鏈法則,計算得到:

例2

,求複合函式的全導數。
解:外層函式顯含自變數s,由一一型全導數鎖鏈法則,計算得到:

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