代數簇的幾何

《代數簇的幾何》是依託華東師範大學，由談勝利擔任項目負責人的重點項目。

基本介紹

• 中文名：代數簇的幾何
• 項目類別：重點項目
• 項目負責人：談勝利
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

研究代數曲面纖維化的模不變數，其纖維的陳省身數的性質，套用於研究兩個變數的代數微分方程的代數可積性（Poincare問題）。找出一般型代數曲面的自同構群的交換子群的階的最佳上界。研究曲線模空間中的Teichmuller曲線，證明虧格充分大時，曲線模空間中沒有Shimura曲線。研究代數曲面上的特殊線性系的模空間。尋找兩個變數的代數函式的黎曼存在定理成立的代數幾何條件。證明光滑代數簇的餘切叢的正性。研究一般型簇的多典範影射的性態，三維簇的雙有理分類。證明如果-K是nef的，則其Albanese映射是光滑的。正特徵時，尋找Higgs叢的不穩定性的上界，研究正特徵Calabi-Yau流形的切叢的半穩定性，正特徵Kawamata-Viehweg消失定理的反例的刻畫，證明如果正特徵時曲面的第二陳數為負，則曲面上存在一個纖維化，證明任意特徵上的Toric簇的光滑部分都是強連通的。

結題摘要

給出了代數曲線束的模不變數的計算公式，推廣了小平邦彥關於橢圓曲線束的J-不變數的計算公式，作為套用之一，發現了一階微分方程的三個雙有理不變數，Poincare, Painleve, Darboux曾經試圖尋找這樣的不變數。作為套用之二，分類了有理直線上奇異纖維個數為2和3的一些纖維化。證實了Viehweg-左康猜測: 當虧格至少為5且所有纖維都是半穩定時，至少有5條奇異纖維的雅可比是非緊的。構造了一些非平凡的例子。建立了高維纖維化的典範類不等式。 在一般型代數簇的分類研究中，完成了Delta指數大於12 的簇的分類。得到了對幾何虧格為1，2，3，4的三維簇的典範系列映射的雙有理性的刻畫條件；證明了一般型三維簇的典範穩定性指數小於或等於57；發現了格蘭斯坦極小三維簇的諾特不等式；證明了終極法諾三維簇（相應地，弱法諾三維簇）的第39個（相應地，第97個）反典範映射的穩定雙有理性；證明了任意弱法諾三維簇必雙有理等價於一個具有52-反典範雙有理穩定性的弱法諾模型；在一般型高維（4維以上）代數簇的雙有理幾何研究上取得突破。通過舉例證明了一般型高維簇的典範映射的一般纖維的雙有理不變數不具有有界性；證明了大體積的4、5維一般型簇的典範穩定性遞歸法則。 在正特徵代數簇的幾何的研究上，完全證明Gieseker猜想。系統研究了強可提升概型的性質，證明在正特徵Toric代數簇上，Bott消滅定理、Kawamata-Viehweg消滅定理成立，Hodge to de Rham譜序列在E1處退化；完全解決了藤野-權業猜想。對纖維維數是1的纖維化，或者基域是有限域的代數閉包的三維簇，證實了飯高猜想。