單有理簇

在數學中的代數幾何領域，域K上的有理簇是一個雙有理等價於射影空間的代數簇，能由有理簇覆蓋的代數簇稱為單有理簇。

基本介紹

• 中文名：單有理簇
• 外文名：unirational variety
• 領域：數學

簡介

在數學中的代數幾何領域，域 上的有理簇是一個雙有理等價於射影空間（）的代數簇。有理性僅依賴於其函式域，更明確地說，代數簇是有理簇若且唯若，其中是獨立的變元。

古典結果

Lüroth 定理是關於有理簇的基本結論，它斷言：對於有理函式域的子域，若次數有限，而代數閉，則也是個有理函式域。

翻譯成幾何語言，這相當於說：若對代數閉域上的代數曲線，存在滿態射（或稱分歧覆蓋），則是有理簇。

有理簇有一個有用的性質：若非有限域，是-有理簇，則在中稠密。

單有理簇

能由有理簇覆蓋的代數簇稱為單有理簇，用域論的語言來說，即是有理函式域的子域，使得有限。凡有理簇皆為單有理簇；在一維的情形，Lüroth 定理斷言單一維的有理簇皆是有理簇。

對於復代數曲面，同樣可由 Castelnuovo 定理導出單有理曲面皆為有理簇。但是在特徵時存在反例。在三維情形， Clemens 與 Griffiths 找出了反例。

例子

• 代數群理論中常出現相關的結構；例如約化群皆為單有理簇，約化群對拋物子群的商是有理簇。