拋物子群

簡介

拋物子群(parabolic subgroup)是代數群的一類閉子群。指代數群G的含有博雷爾子群的閉子群。若且唯若陪集空間G/P是完備簇，一個閉子群才是拋物子群。若P是簡約代數群G的拋物子群，則可找到P的一個簡約的閉子群(不是惟一確定的)，使得P是1與V的半直積。P的這個分解稱為列維分解。當基域K的特徵數是時，任何連通代數群都有列維分解。

在代數組的理論中，代數組G的拋物子群是最大的Zariski閉合和連線的可解代數子群。例如，在組

（n×n可逆矩陣）中，可逆上三角矩陣的子組是拋物子組。

對於在代數閉合欄位上實現的組，有一個Borel子組的共軛類。

在Jacques Tits的具有（B，N）對的組的理論中，Borel子群是理解簡單（更一般地，還原）代數組的結構的兩個關鍵成分之一。這裡B組是Borel亞組，N是包含在B中的最大圓環的歸一化。

這個概念由Armand Borel介紹，他在代數群體理論的發展中發揮了主導作用。

分組拋物線

Borel子組B和環境組G之間的子組稱為拋物線子組。在代數子群中，拋物線亞群P的特徵還在於G / P是一個完整的種類。在代數閉合的領域中，Borel子群在這個意義上證明是最小的拋物線亞群。因此，當均勻空間G / B是“儘可能大”的完整品種時，B是Borel子群。

對於簡單的代數組G，拋物線子組的共軛類的集合是與相應的Dynkin圖的所有節點子集的雙射；Borel子組對應於空集合，G對應於所有節點的集合。（通常，Dynkin圖的每個節點確定簡單的負根，因此確定G的一維“根組”，因此節點的子集因此產生由B生成的拋物線子組和相應的負根組。此外，任何拋物線亞組與這樣的拋物線亞組共軛。）