群概形

在代數幾何中，一個概形S上的群概形G是範疇SchS中的群對象，具體定義請參見正文。

基本介紹

• 中文名：群概形
• 外文名：Group scheme

簡介

在代數幾何中，一個概形S上的群概形G是範疇中的群對象。藉由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃：

以乘法、單位元與逆元定義：存在中的態射，乘法：，單位元：，逆元：，並滿足結合律等等群的性質。

以函子性定義：點函子透過遺忘函子分解。

換言之：對於任意的S-概形T，構成一個群；而且對任意S-態射，誘導映射都是群同態。

代數群：設k為域，上的連通、光滑群概形稱作k上的代數群。

李代數：群概形G自然地作用在它的全體向量場上。G的全體左不變向量場稱作G的李代數，記為；它是S上的層。

例子

交換環譜的群概形結構一一對應到A的Hopf代數結構。

阿貝爾簇：即一個域k上的真（proper）代數群，它們必然是可交換的。

線性代數群：即中的閉子群。仿射代數群都是線性代數群，它們在表示理論及數論中占有根本地位。Chevalley定理斷言：若k代數封閉，則對所有代數群G都存在短正合列，其中H是線性代數群而A是阿貝爾簇。在此意義下，所有代數群都是由阿貝爾簇與線性代數群建構而來。

設，並考慮的譜。這些群在拓樸上只有一個點，但其結構層帶有冪零元素。這些子群在代數群的研究中相當常見，同時也是理解時的代數群之重要關鍵。

代數幾何

代數幾何是數學的一個分支。經典代數幾何研究多項式方程的零點，而現代代數幾何將抽象代數，尤其是交換代數，同幾何學的語言和問題結合起來。

代數幾何的基本研究對象為代數簇。代數簇是由空間坐標的若干代數方程的零點集。常見的例子有平面代數曲線，比如直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三次曲線（非奇異情形稱作橢圓曲線）、四次曲線（如雙紐線，以及卵形線）、以及一般n次曲線。代數幾何的基本問題涉及對代數簇的分類，比如考慮在雙有理等價意義下的分類，即雙有理幾何，以及模空間問題，等等。

代數幾何在現代數學占中心地位，與多複變函數論、微分幾何、拓撲學和數論等不同領域均有交叉。始於對代數方程組的研究，代數幾何延續解方程未竟之事；與其求出方程實在的解，代數幾何嘗試理解方程組的解的幾何性質。代數幾何的概念和技巧都催生了某些最深奧的數學的分支。