卵形線

卵形線是類似於橢圓，但是一頭大，一頭小，有一條對稱軸且光滑封閉的平面曲線。卵形線的對稱軸與大、小頭的兩個交點稱為卵形線的大端點和小端點，卵形線上到其對稱軸距離最大的兩點稱為卵形線的對稱端點，卵形線的直徑與對稱直徑的交點稱為卵形線的卵心。典型的卵形線有笛卡兒卵形線、卡西尼卵形線等。

基本介紹

• 中文名：卵形線
• 外文名：oval line
• 領域：數學
• 分類：笛卡爾卵形線、卡西尼卵形線
• 套用：用來消除球面像差
• 屬性：平面曲線

笛卡爾卵形線

定義

給定兩定點F 、F'，假定P點與F、F'的距離分別為r1與r2，若滿足方程：m*r1+n*r2=d，其中，m、n、d都是常數，則稱P點的軌跡為笛卡爾卵形線。當m=n時，為橢圓。在一般情況下，笛卡兒卵形線是四次曲線，它包括兩個沒有共同點的閉曲線，而且一個在另一個之內。在內的一個類似於橢圓，在外的一個可能是凸的，也可能有拐點(如圖1所示)。

圖1

光學性質

笛卡兒(Descartes , R. )在《折光》里討論了這個曲線和它的折光性質，他成功地解決了什麼樣的曲面作為兩種介質的交界面時，能使從第一種介質內一點發出的光線射到曲面上，折入第二種介質而聚於一點。他發現具有這個性質的旋轉面是由笛卡兒卵形線產生的。

選取適當的m、n值，可使通過點A的光線經折射後，全部通過點B。笛卡爾曾利用這個光學性質，選取笛卡兒卵形線作為透鏡的截面形狀，用來消除球面像差。

卡西尼卵形線

設A，B是平面內兩個定點，AB=2c（c是定長），平面內滿足MA*MB=a^2(a是定長）的點M的軌跡稱為卡西尼卵形線。卡西尼卵形線是由天文學家喬凡尼卡西尼提出的。其直角坐標方程為：

（1）當a=c時，卡西尼卵形線是雙紐線；

（2）當a<c時，卡西尼卵形線是兩支曲線，隨著a值減小，分別向A、B收縮；

（3）當a>c時，不自交。

三次卵形線方程

卵形線是類似於橢圓，但是一頭大，一頭小，有一條對稱軸且光滑封閉的平面曲線。卵形線的對稱軸與大、小頭的兩個交點稱為卵形線的大端點和小端點，記為Q、P。卵形線上到其對稱軸距離最大的兩點稱為卵形線的對稱端點，記為S、T，線段QP、ST分別稱為卵形線的直徑和對稱直徑，卵形線的直徑與對稱直徑的交點稱為卵形線的卵心，記為O，線段OP,OQ,OS（或OT）分別稱為卵形線的長半徑、短半徑、對稱半徑，其長度分別記為a、b、c。長半徑、短半徑、對稱半徑稱為卵形線的三個特徵參數。

圖2 卵形線及其在直角坐標系中示意圖

已知卵形線的長、短、對稱半徑a、b、c這三個特徵參數，在平面直角坐標系中，以卵形線的對稱軸作為x軸，x軸正向與卵形線小頭方向一致，卵形線的卵心作為坐標系原點．以正數a、b、c(a>b)為長、短、對稱半徑的卵形線在直角坐標系中示意圖如圖2所示。其三次卵形方程為：