蛋圓曲線

定義

平面上至少有一條對稱軸的卵形曲線是蛋圓曲線。

本文涉及的蛋圓屬於劈錐曲線族，是四次方程曲線。在橢圓方程中，令a = b = r ，橢圓即成為特例——圓；而橢圓又是蛋圓的一種特例。

設準線為橢圓的正劈錐面方程為 x^2 / a^2 + y^2 / z^2 = 1,其軸為 x 軸，準線為 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，以平行於劈錐面軸的平面

z = ky + b 去截正劈錐面，得交線為 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

{ z = ky + b (2)，將（2）投影到 xOy 平面上，即得蛋圓標準方程（1），見圖1。

仿橢圓參數方程，引入角參數 t ，蛋圓參數方程為

{ x = a cos t

y = b sin t / ( 1－k sin t) (∣k∣﹤1) (3)。令（1）在三維直角坐標系中繞 y 軸旋轉，得出旋轉蛋球面方程（詳見圖2）：

蛋圓（1）的取值範圍：a > 0, b > 0, ︱k︱< 1。

因為 k 是平面 ky + b 對於 zOx 坐標面的斜率，︱k︱﹥ 1時，平面在正劈錐面上不能截到封閉的卵形線，k = 0 時（1）成為特例——橢圓。b = 0 時（1）成為兩條直線： —a ≤ x ≤ a ；

－b / (1 + k) ≤ y ≤ b / (1 － k)。

蛋圓（1）內線段：（1）與 x 軸兩個交點的連線線段稱“橫徑”，其長度記為 2r，橫徑被其中點所分成的兩個線段稱“對稱半徑”，其長度記為r ,r = a ；(1)以 y 軸為唯一對稱軸，是偶函式，（1）與其對稱軸的兩個交點間的線段稱“直徑”，其長度記為 d ，

d = b / (1－k) － [－b/ (1 + k )] = 2b /(1－k^2)；直徑與橫徑的比值稱圓度記為u，u = d / 2r = b / a(1－k^2)，當u = 1時蛋圓變為特例——圓，當u → 0 時蛋圓越來越矮胖，當u →∞時蛋圓越來越瘦長。

由於蛋圓（1）是已知唯一的三參數蛋圓曲線，調節a、b、k三個參數比例，可以無限逼近符合定義的任何蛋圓，包括獲得比橢圓方程式更精確地逼近真實的地球外形方程式。

圖3：計算機繪製的立體蛋圓——蛋球面

（方程式為：（x^2 + z^2) /16 + y^2/(0.2y +5)^2= 1）

圖4：上海世博文化中心（從模型紀念品可見其俯視圖為平面蛋圓曲線）

注1 卵形線定義：平面上與任一直線相交不多於兩點的閉曲線。它是凸閉曲線。

《數學詞典》215頁，上海辭書出版社1992年8月第一版。

注2 本文主要引用《淺析橢圓的一種推廣——蛋圓》曹明建、曹明達1999-09-01。

注3 國內課題來源：《科學畫報》1983.6，36頁《怎樣畫蛋》王根明、陸彤，“用數學術語來表示蛋的形態曲線，至今還沒有研究出來。”（第8行）