伊代爾群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

伊代爾群(Idele group)是一種特殊的群。即各分量為諸局部域元素的某些向量(其分量幾乎均為單位)形成的群，是理想群和除子群的推廣。

除子亦稱韋伊除子。是研究代數簇的重要工具之一。不可約簇X上余維數為1的不可約子簇的代數和。具體地，若D表示X中不含於X的奇異軌跡之中且余維數為1的不可約子簇的全體，Div(X)表示以D為基的自由阿貝爾群，則Div(X)中的元稱為除子。

基本介紹

• 中文名：伊代爾群
• 外文名：Idele group
• 領域：代數
• 性質：理想群和除子群的推廣
• 提出者：謝瓦萊
• 提出時間：1936年

概念介紹

伊代爾群是一種特殊的群。即各分量為諸局部域元素的某些向量(其分量幾乎均為單位)形成的群，是理想群和除子群的推廣。設F為整體域，M為其素除子集，F_P為F對P∈M的完備化。設a=(a_P)為積空間ΠF_P(P∈M)中元素，若對幾乎所有P∈M(即除有限個之外對所有的有限素除子P∈M)均有a_P為F_P的單位，則a=(a_P)為F的伊代爾。F的伊代爾全體J形成群(按分量進行乘法)，稱為伊代爾群。F按對角線嵌入J，稱為主伊代爾群。自1936年由謝瓦萊(Chevalley，C.)引入以來，伊代爾群在數論中套用很廣泛.伊代爾群與理想群關係密切.事實上，J/FJ_∞與F的理想類群H同構，式中J_∞表示對有限素除子P∈M均有a_P為單位的伊代爾(a_P)全體.伊代爾群是一個局部緊的拓撲群。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

理想群

整環的一種特殊性質、它作為戴德金環的判定條件。若整環R的所有非零分式理想做成群，則稱R容許理想理論.設G(R)是R的所有非零分式理想的集合。由於兩個分式理想X，Y的乘積(與整理想的積同樣定義)XY也是分式理想且適合交換律與結合律，而R是分式理想且RX=X，所以G(R)是有單位元的交換半群。當R是戴德金環時，R中每個非零分式理想都是可逆理想，因此，G(R)構成一個群，稱G(R)為R的全分式理想群。於是，整環R是戴德金環的充分必要條件是G(R)為乘法群，即R容許理想理論.也等價於下面兩個條件：

1.對R的非零理想A，B，若AB，則存在R的理想C使得A=BC。

2.R的每個非零真理想恆可表為有限個極大整理想的乘積。

除子

除子亦稱韋伊除子。是研究代數簇的重要工具之一。不可約簇X上余維數為1的不可約子簇的代數和。具體地，若D表示X中不含於X的奇異軌跡之中且余維數為1的不可約子簇的全體，Div(X)表示以D為基的自由阿貝爾群，則Div(X)中的元稱為除子。設A=∑n_iA_i是一個除子，A_i是不可約子簇，若所有的n_i≥0，則稱A為有效除子，稱A_i為素除子。例如，若X是余維數1正則的(即X的所有一維局部環都是正則環)射影簇，A是X上的素除子，則O_A是一個離散賦值環。若f是X上的非零有理函式，則對O_A的賦值v_A，v_A(f)是個整數，且除了有限多個A之外，v_A(f)=0。因此，可以定義f的除子：

這種除子稱為主除子。若兩個除子D，D′的差等於一個主除子，即D-D′=div(f)，則稱D和D′是線性等價的。Div(X)關於線性等價的商群稱為X的除子類群，記為Cl(X)。

人物簡介

謝瓦萊是法國數學家。生於南非的約翰內斯堡。謝瓦萊的祖父是瑞士鐘錶匠，後定居法國。父親曾在中學教書，後進入外交界，謝瓦萊出生時他正擔任法國駐約翰內斯堡領事。謝瓦萊主要在巴黎接受教育。1926年考入巴黎高等師範學校，1929年畢業，1934年獲理科博士學位。這段期間曾到德國幾所大學訪問， 對諾特(E.Noether)、阿廷(E.Artin)以及哈瑟(H.Hasse)等人的工作留下深刻印象。回國後到雷恩大學執教。1939年應邀到美國普林斯頓高級研究所訪問。因第二次世界大戰爆發，法國被德軍占領，謝瓦萊不得不滯留美國，在普林斯頓大學任教授。1949—1955年任哥倫比亞大學教授。1955年回法國任巴黎大學教授，直至1978年退休任榮譽教授。

謝瓦萊是法國科學院院士，倫敦數學會榮譽會員。1937年在巴黎獲法蘭克爾獎，1941年獲美國數學會的柯爾獎。

謝瓦萊主要研究代數數論、代數幾何和李群，他是布爾巴基學派的最早成員之一，對現代數學發展有傑出貢獻。他在1933年的博士論文直接從p-進域出發考慮阿貝爾擴張，建立了一個局部類域論的體系，進而大大簡化了類域論中一些重要定理的證明。其後幾年，他致力於把類域論從有理數域推廣到無窮次擴張數域上去，以取消人們對Zeta函式的依賴。終於在1936年引進了伊代爾(idele)的概念，從而達到目的。1940年以後，轉向研究代數幾何和李群。他證明了代數簇局部環的一些主要性質，並創立了交截理論。他獲得“緊緻李群是代數群”這一著名定理。1955年，他發表用代數群來研究李型單群的工作，其結果與方法均有重要意義。他還致力於把基林和嘉當的關於復半單群的工作推廣到特徵為零的代數閉域和有限特徵的代數閉域上。50年代，他主持了一個代數幾何和群論討論班，在數學界甚有影響。60年代以後，他開始研究有限群論。

謝瓦萊發表了40多篇研究論文和10多部專著。其中三卷集的《李群論》(Theory ofLie Groups，1946，1951，1955)等屬數學經典著作。