代數整數環(ring of algebraic integers)亦稱整數環，是一種特殊的交換整環，代數數域K中的代數整數全體OK稱為K的整數環，K是OK的商域，設L⊃K是兩個數域，則OL是OK在L的整閉包，OL也是有限生成的OK模，OK是戴德金環，其理想可惟一(不計次序)分解為其素理想的乘積，OK是惟一析因環若且唯若OK是主理想環，這也等價於K的理想類數為1。由戴德金環上模結構定理(施泰尼茨(Steinitz，E.)(1912年)-卡普蘭斯基(Kaplansky，I.) (1952年))知，OL ≌OK⊕J，式中n=[L∶K]，J是K中理想，J的理想類由L和K惟一決定。特別地，當J為主理想時(例如，當K的理想類數為1時總是這樣)，有OL≌OK，即存在ω1，ω2，…，ωn∈OL使OL=OKω1⊕…⊕OKωn。
基本介紹
- 中文名：代數整數環
- 外文名：ring of algebraic integers
- 所屬學科：數學
- 別名：整數環
- 屬性：一種特殊的交換整環
- 所屬領域：數論（代數數論）
- 定義：代數數域K中的代數整數全體OK稱為K的整數環
基本介紹,代數整數,相關定理,
基本介紹
代數整數環(ring of algebraic integers)亦稱整數環，是一種特殊的交換整環，代數數域K中的代數整數全體OK稱為K的整數環，K是OK的商域，設
是兩個數域，則OL是OK在L的整閉包，OL也是有限生成的OK模，OK是戴德金環，其理想可惟一(不計次序)分解為其素理想的乘積，OK是惟一析因環若且唯若OK是主理想環，這也等價於K的理想類數為1。由戴德金環上模結構定理(施泰尼茨(Steinitz，E.)(1912年)-卡普蘭斯基(Kaplansky，I.) (1952年))知，
，式中n=[L∶K]，J是K中理想，J的理想類由L和K惟一決定。特別地，當J為主理想時(例如，當K的理想類數為1時總是這樣)，有
，即存在ω1，ω2，…，ωn∈OL使OL=OKω1⊕…⊕OKωn。
代數整數
代數整數(algebraic integer)亦稱整數，代數數的一種。它是有理整數(即自然數、零及其相反數)的推廣。設α為複數，若存在係數為有理整數的首一(即最高次項係數為1)多項式f(x)使f(α)=0，則稱α為代數整數。若上述f(x)的常數項為±1，則α稱為單位，所有整數全體構成一個交換環I，其商域(或稱分式域)即為代數數全體構成的域A，單位即是環I中的可逆元素。代數整數的一個顯著特點是，它們不一定能進行惟一不可約因子分解，例如，
相關定理
定義1 代數數
叫作是代數整數(簡稱作整數)，如果存在一個係數屬於Z的首1多項式
，使得
。
引理1設 為代數數，因為 在Q上的極小多項式，則 為整數的充要條件是
。
系1 Q中只有有理整數才是(代數)整數。
定理1 以
表示二次域
(d是無平方因子的有理整數)中的全部整數所組成的集合，則當
時，
；而當d=1(mod 4)時，
，其中
。
對於二次域K，可以直接驗證定理1中求出的整數集合 事實上是K的子環。對於任意的數域K，Dedekind證明了K的整數集合 也是K的子環，換句話說，如果 和
均是K中的整數，則
和
亦是整數。這是一件不平凡的事情(
顯然均是
中的整數，構想一下如何證明
也是整數)，我們需要給出整數的其他刻畫方式。
定理2 對於
，下面幾個條件彼此等價：
(1) 為(代數)整數；
(2)環
的加法群是有限生成的；
(3) 是C的某個非零子環R中的元素，並且R的加法群是有限生成的；
(4)存在有限生成非零加法子群
使得
。
定理3 若 和 均是整數，則
也是整數，特別地，數域K中全部整數組成的集合 是K的子環。
代數整數環：將 叫作是數域K的(代數)整數環，有理數域Q的整數環就是Z，而二次域的整數環已由定理1給出，現在我們來給出分圓域
的整數環。
定理4分圓域K= 的整數環是
。
