《一類非線性發展方程的定性理論》是依託華南師範大學，由金春花擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：一類非線性發展方程的定性理論
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：金春花
- 依託單位：華南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目旨在研究來源於物理學、生物、化學、連續介質力學等領域的一類具有鮮明的物理背景的非線性發展方程，。研究內容主要涉及到一類非線性擴散方程的一維及多維行波解問題、奇異初值解的發展趨勢、可壓Navier-Stokes方程的周期解問題，粘彈流方程解的長時間漸近行為，以及分數階擴散方程解的相關理論研究. 這些都是目前人們所關注的熱點、難點問題。刻畫這類方程不僅需要經典的偏微分方程理論知識，並且需要根據不同的方程選擇合適的研究架構和理論工具，甚至需要研究工具和方法的不斷拓展和創新。本項目的研究不僅能對於解釋某些實際現象提供一定的參考價值，而且研究方法與結果也將在一定程度上豐富和完善偏微分方程的理論。
結題摘要
本項目主要開展了具鮮明物理背景及生物背景的非線性發展方程解的一些定性理論的研究工作. 重點研究了Navier-Stokes 方程的周期解問題，具時滯的退化擴散方程的行波解問題，趨化及其耦合模型解的一般定性理論, 可壓液晶流系統的穩態解及周期解, 分數階方程解的存在性，非散度型擴散方程的自相似奇異解等問題。在本項目的實施過程中，我們按照研究計畫開展了全面的研究，完成了研究目標，取得了一系列研究成果.如：(1)我們對於具消耗機制的Keller-Segel模型3D空間解的整體存在性及一致有界性的研究[JDE，2017]本質上改進了Winkler等多位數學工作者的結果[DCDS,2010; Ann. I. H. Poincare AN, 2013; CVPDE, 2015; JDE, 2018]，部分解決了Winkler提出的公開問題。(2) 我們確立了2維及3維空間具重塑機制的趨化-趨觸耦合模型解的整體存在性及一致有界性。我們對二維的情形的研究本質上完善補充了Tao，Winkler[5]以及Wang[7]的工作。另外，我們對三維情形的研究在此之前也是未曾有人觸及的。(3)具時滯的退化擴散模型行波解的存在性及穩定性。該項研究是具時滯的退化方程所見到的第一個研究架構[J. Nonlinear Sci., 2018]。(4) 對3D可壓Navier-Stokes方程的周期解存在性這一公開問題取得了實質性的進展 [JDE，2015; J. Math. Phys., 2015]，我們文中所用的方法和技巧被一些作者多次系統引用。(5)對趨化-流體耦合模型的周期解存在性給出了一個完整的研究架構。這也是對於趨化流模型周期解方面的第一個結果[Math. Nachr.2017; Z. Angew. Math. Phys, 2017]。
