若干非線性發展方程的多值擾動及解集的拓撲刻畫

《若干非線性發展方程的多值擾動及解集的拓撲刻畫》是依託上海師範大學，由王榮年擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：若干非線性發展方程的多值擾動及解集的拓撲刻畫
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王榮年
• 依託單位：上海師範大學

項目摘要

本項目在抽象空間中研究若干多值非線性發展方程，即非線性發展包含的定性性質，主要關注可解性、解集的拓撲結構及套用等問題。發展包含是用來描述隨時間而演變的過程的一些重要的偏微分包含，它在許多物理現象中有重要的套用背景，如在材料物理中，非線性發展包含被用於刻畫具有乾摩擦、控制熱轉移等混合系統的運作機理；從相關文獻亦知，較發展方程，發展包含的研究更複雜並且在一些問題的處理上與前者有本質的差異。因此，我們研究內容具有重要的現實意義。另一方面，在各種發展方程和包含的研究中，一個重要方面是解集的拓撲結構（非循環性、收縮性、AR、R_δ-結構等），它作為定性理論的一類重要刻畫在證明相應問題可達集的不變性、可解性和周期性等方面都起到至關重要的作用.該研究已經成為國內外一個熱門課題並引起了國際上一大批數學家的關注。綜上，我們選擇該項目的研究不僅具有前沿性和重要的理論意義而且對一些實際問題具有套用前景。

結題摘要

非線性多值發展方程是發展型偏微分方程、非線性泛函分析和多值分析的交叉研究領域，它在許多物理現象中有重要的套用背景。解集的拓撲結構如非循環性、收縮性、連通性、AR、R_δ-結構是非線性多值發展方程研究中的核心的和具有挑戰性的數學問題，其作為一種重要的定性性質值得我們去研究。它在討論一些問題全局解的存在性、逼近可控性、平衡解的存在性和周期性等方面也起到至關重要的作用。在這方面我們得到的主要結果是：對非線性多值發展方程，我們分別在主部運算元是依賴於t的扇形運算元且對應發展族具有緊性、不具有緊性以及主部運算元是生成非緊非線性半群的m-耗散運算元這三種情形下，討論了相應解集的非空性和R_δ-結構。在獲得解集R_δ-結構的基礎上，我們對相應非局部問題的存在性、相應控制問題可達集的不變性等問題進行了研究。當發展族具有緊性時，在非局部函式不滿足非擴展性和非線性項不滿足不變性的條件下證明了相應非局部Cauchy問題全局解的存在性，也利用R_δ-結構證明了相應控制問題在單值擾動下可達集的不變性。在發展族或非線性半群不具有緊性的條件下，我們在非局部函式滿足緊性條件下證明了相應非局部Cauchy問題全局解的存在性。 在非線性系統動力學性態的研究中，（局部）不變流形作為一種重要幾何結構是必不可少的工具，利用它可洞察複雜的動力學、簡化高維問題為低維結構的問題進行分析。對此研究是國際上一個重要熱點領域。在這方面我們得到的主要結果是：對一類常微-拋物耦合系統，考慮更一般的抽象問題（含對應修正問題），在不假設譜間隙條件的情形，首先證明溫性解和古典解的全局適定性，然後證明局部漸近完備有限維不變流形的存在性。在譜間隙條件成立的情形，證明了漸近完備有限維不變流形的存在性。再利用（局部）不變流形揭示主從同步現象和拓撲等價性，並建立原問題和簡化問題之間關於全局動力學性態特別是吸引子的存在性、平衡解的漸近穩定性的簡化原理。