基本介紹
- 中文名：一致拓撲
- 外文名：uniform topology
- 領域：數學
- 意義：一致結構誘導的拓撲
- 空間性質：完全正則空間
- 拓撲空間：一致拓撲空間
拓撲性質,誘導拓撲定義,一致拓撲,拓撲空間的性質,一致拓撲空間,
拓撲性質
1．X和空集{}都屬於T；
2．T中任意多個成員的並集仍在T中；
3．T中有限多個成員的交集仍在T中。
稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。
稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。
定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）
從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。
一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。
同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定義的拓撲）是連續的若且唯若開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚若且唯若存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。
誘導拓撲定義
誘導拓撲(induced topology)是指構造拓撲的一種方法。設f.是集合X到拓撲空間(Y , U)的映射。在X上的所有使得f連續的拓撲中，最粗的拓撲T稱為由(Y,U)及f確定的誘導拓撲。實際上，
反之，若f是拓撲空間(X,T)到集合Y上的映射。在Y上的所有使得f連續的拓撲中，最細的拓撲U稱為由(X,T)及f確定的誘導拓撲。也稱為由f與X上的拓撲確定的Y的商拓撲。實際上，
一致拓撲
一致拓撲(uniform topology)是由一致結構誘導的拓撲。設(X，U)為一致空間，T是X的子集，滿足：對於任意x∈T，存在U∈U使得U(x)
T，其中U(x)={y|(x，y)∈U}。所有這種T組成的集族T是X上的一個拓撲，稱為由一致結構U誘導的拓撲或一致拓撲。當由一致結構U誘導的拓撲空間X為緊空間時，則和X的拓撲一致的一致結構是惟一確定的。一致空間是完全正則的，並且完全正則空間具有和它的拓撲一致的一致拓撲。即有下述結果：集合X上的拓撲T為X上的某個一致結構的一致拓撲的充分必要條件是，(X，T)為完全正則空間。
拓撲空間的性質
性質1集合X的離散拓撲T是X的最大拓撲，即對X的每一個拓撲T1，均有。
證明 由拓撲T1的定義可得： 對A∈T1，有A∈ P(x)。此外，T是X的離散拓撲意味著T =P(x) ，因此，A∈T，從而由A的任意性可知。
性質2 離散拓撲空間(X，T) 中：
①點x的鄰域系是Ux= AX | x∈ A}，即凡是X的包含x的子集都是x的鄰域。
② X的每一個子集既開又閉。
證明 對任意的x∈X，有{x}∈P(x)= T，故{x} 是開集。另外，對任意的x ∈ A X，有x∈{x}A，從而由鄰域的定義可知A是X的鄰域。
設A是X中的任一子集，那么有A∈P(x)=T，即A是開集。另一方面，由X ～ AX可得Ac∈P(x)= T， 故A是閉集。
註： 一般拓撲空間的子集也可能是既不開也不閉的。
性質3 離散拓撲空間(X，T) 中，若AX，則A的導集A' =
，即A中不含有任何一個聚點。
證明 對任意的x∈X，存在x的一個開鄰域{x} ，使得{x}∩(A －{x} )= ，從而x不是A的聚點，因此，由x的任意性可得：集合A中不含有任何一個聚點，即A' = 。
一致拓撲空間
拓撲學是數學的一門基礎學科，在數學中占有非常重要的地位。而一致空間作為一種特殊的拓撲空間，是拓撲學中一個重要的分支，是連線度量空間與拓撲空間的重要橋樑。是指帶有一致結構的集合，是可度量化，可一致化的空間。自 1938 年法國Bourbaki 學派的領導人之一A. Weil 引進以來，一致空間作為一種特殊的拓撲空間，能夠定義一致收斂、一致連續、完備性等一致性質的結構。一致空間與拓撲空間和度量空間存在密切的聯繫，因此一致空間成為聯繫拓撲空間和度量空間的重要橋樑，在研究它們之間的關係中發揮了強大的作用，也方便了我們通過非標準分析的方法對一致空間的非標準特徵進行系統的研究。
定義 1若u是 XxX 的非空子集族，且滿足下述條件：
（1）對於任意的
，
；
（2）若 ，則
；
（3）若
，則存在
，使得
；
（4）若對於任意的
，則
；
（5）若 且
，則 ，
則稱u為集 X上的一致結構，(X,u)稱為一致空間。
