《Clifford分析中的邊值問題與相關反問題研究》是依託河北師範大學，由王麗萍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Clifford分析中的邊值問題與相關反問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王麗萍
- 依託單位：河北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究Clifford分析理論及其在偏微分方程邊值問題和反問題上的套用，主要包括繼續深入研究Clifford分析中一些奇異積分運算元的性質，探討橢圓型方程解的性質，並提出新的方法，構造合適的積分運算元，進一步研究高維雙曲型和退化的偏微分方程或方程組，如非齊次Cimmino方程組、Beltrami方程、多重Beltrami方程的一些邊值問題解的存在唯一性、解的積分表示、解的增長性與解的先驗估計等。另外，利用Clifford分析中有關函式理論以及逆散射方法研究偏微分方程的逆邊值問題與未知係數的反演問題，證明其解的存在性與整體唯一性等。長期以來，Clifford分析在偏微分方程中的套用主要局限於橢圓型方程的有關邊值問題，本項目擬將其延伸到高維雙曲型方程和退化的偏微分方程的研究，同時研究有關的反問題，從而開拓了Clifford分析研究的新領域，推動了相關學科的發展，具有重要的科學意義。
結題摘要
項目背景：研究Clifford分析理論及其在偏微分方程邊值問題和反問題上的套用是經典實複分析理論在高維空間的推廣。主要研究內容：（1）在Clifford代數框架下，研究了與k正則函式、hypergenic 函式、ψ-全純函式等函式有關的奇異積分運算元的一些性質；（2）利用所研究的奇異積分運算元給出有關偏微分方程邊值問題解的積分表示，並研究其解的增長性、解的先驗估計等；（3）對利用Clifford分析中有關函式理論研究偏微分方程的逆邊值問題與未知係數的反演問題進行探究。重要結果：（1）得到了高維空間一些函式類相應的Cauchy型積分運算元、Teodorescu型積分運算元以及高階奇異積分運算元的一些性質，例如：有界性、Hölder連續性、Lp可積性、穩定性以及不動點的存在性與疊代逼近等；（2）利用所研究的奇異積分運算元給出了一些邊值問題的積分表示，例如：Cimmino方程組的一類混合邊值問題、加權Dirac運算元的Riemann邊值問題、退化的橢圓方程組的Riemann邊值問題和斜微商邊值問題以及與Helmholtz方程有關的邊值問題等；(3)證明了調和函式與次調和函式的一些性質，例如：Matseav 定理、Phragmén-Lindelöf 定理等；（4）研究了hypergenic函式與k-hypergenic函式的一些性質，以及左Bernstein-Durrmeyer擬中插強逆不等式與套用等。關鍵數據：（1）通過構造新的奇異積分運算元，給出了加權Dirac運算元的Riemann邊值問題解的積分表示；（2）通過尋找複分析與Clifford分析的結合點，研究解決了一類退化的橢圓型方程組的Riemann邊值問題，證明了一類退化的橢圓型方程組斜微商邊值問題解的存在唯一性條件。科學意義：本項目的研究將豐富函式論與邊值問題的理論、開拓複分析和Clifford分析研究的新領域，並可用於解決與實際問題相關的方程的邊值問題與反問題，在理論上和實際中都有一定的意義。
