《非線性Fourier原子的時頻分析與套用》是依託華南農業大學，由諶秋輝擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性Fourier原子的時頻分析與套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：諶秋輝
- 依託單位：華南農業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
傳統的時頻分析方法如光譜分析、小波分析、Wigner分布等都是由Fourier分析衍生的，其本質是用常數頻率的時頻原子去表示信號。而實際信號大多是瞬變的，其瞬時頻率的時變特徵要求用非線性相位的原子去表示。解析信號定義的引入和經驗模型分解算法是對該問題的重要突破，但它們的數學理論一直沒有建立起來。近期的研究顯示非線性Fourier原子為這個方向提供了新的研究角度。非線性Fourier原子是指單位圓盤上的Blaschke積和奇異函式構成的內函式在單位圓周上的邊值。本項目將系統研究基於非線性Fourier原子的時頻分析，包括具有非線性相位核的積分變換、超越Heisenberg群的表示理論、非線性相位基（框架）的構造、自適應逼近和算法理論。終極目標是期望建立一套實用的針對瞬變信號處理的時頻分析方法，可套用於各類實際數據的分析和處理。
結題摘要
本項目研究基於非線性傅立葉原子的時頻分析，涵蓋時頻變換、框架(基或者字典)理論以及快速算法三個方面。這裡非線性傅立葉原子是指單位圓盤或上半平面Blaschke積的邊值。這類函式的相位是非線性的，即瞬時頻率是非常數的時變函式。更為重要的是它們自身滿足Bedrosian恆等式，是結構最簡單的單頻率成分信號。因此本項目是對傅立葉分析非線性化的這一重大研究課題的重要嘗試，涉及到基礎數學、信息科學、物理等學科融合，是一項具有挑戰性的研究課題。我們完成了項目研究計畫，取得了部分有意義的研究成果。構造了一類時頻積分變換，其中核函式以非線性傅立葉原子為調製項、並選取光滑函式施加平移與伸縮後生成，我們證明了兩種情形可導致完全重構公式。研究了上半平面Blaschke積正交化後生成的TM系統，發現其調製與伸縮結構，並一般性地構造空間的基和框架, 且將其延拓到四元數與Clifford值情形。研究了TM系統的譜運算元問題，證明它們聯繫到一般化的Sturm-Liouville運算元，對於解釋TM系統表示的物理意義有重要作用。將貪婪算法與TM系統中參數的選取結合，設計了一種自適應逼近的快速算法，將其用於密度函式估計、並進一步討論了TM系統相關的1-範數意義下壓縮感知算法。
