2的平方根(數學常數):歷史沿革,數學性質,十進制展開,相關證明,間接證明,存在性

2的平方根是一個無理數，是單位正方形的對角線長d與其邊之比。

√2≈1.414213562。

基本介紹

中文名：根號2
外文名：Square Root of 2
是否有理數：否
十進制：1.414213562±10^-9
發現人：畢達哥拉斯學派的一名成員
特點：單位正方形的對角線長d與其邊之比
平方：2
平方根：約1.18920711

歷史沿革,數學性質,十進制展開,相關證明,間接證明,存在性的構造證明,連分數,最佳有理逼近,三角函式,

歷史沿革

公元前500年左右，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的一名成員發現，單位正方形的對角線長d與其邊長是不可通約的，即，d與邊長的比值不是有理數，由畢達哥拉斯定理及圖1.14可得

這表明

。用現代術語來說，這位古希臘人發現了

的無理性。這一發現破壞了畢達哥拉斯學派宇宙和諧的美妙圖景，引發了一場危機。（即第一次數學危機）

圖1.14

紙張尺寸在國際間最常使用的是ISO所制定的標準，在1922年通過，並將尺寸冠以編號例如A4、B5等等。此標準源自德國，定義了A、B、C三組紙張尺寸，C組紙張尺寸主要用於信封。另外，有些國家也有自己的標準，如美國、日本。在不同年代，全球各地也有當地通用的紙張尺寸。在書籍、卡片、信封以及日常書寫用紙上，使用統一的紙張尺寸大大提高了生活便利性。國際標準(ISO 216)

早在1786年，一位德國的科學家利希滕貝格(Georg Christoph Lichtenberg)就發現長寬比為

的矩形具有許多特點。在20世紀初期Walter Porstmann將此概念套用在一系列紙張尺寸的制定。隨著各國逐漸採用，後來此標準被定為國際標準（ISO 216）。此標準的特色是紙張尺寸的長寬比均為

(約為1.4142)。同系列但不同尺寸的紙張，其幾何比例相同，因此可以直接縮放影印而不會造成紙面圖案有邊緣裁切的問題。

A的制定基礎首先是求取一張長寬比為

且面積為1平方米(m)的紙張。因此這張紙的寬長分別為841毫米和1189毫米(長寬比為

:1)，並且編號為A0。若將A0紙張的長邊對切為二，則得到兩張A1的紙張，其寬長均為594毫米和841 毫米。依此方式繼續將A1紙張對切，則可以依序得到A2、A3、A4等等紙張尺寸。在制定標準時，尺寸均以整數為準，因此對切的紙張尺寸若帶有小數(小於1 毫米)則會捨入計算。

B系列的制定基礎首先是求取寬邊的長度為1米且面積為

平方米(m2)的紙張。因此這張紙的寬長分別為1000 毫米和1414毫米(長寬比為

:1)，並將其編號為B0。若將B0紙張的長邊對切為二，則得到兩張B1的紙張，其寬長均為707毫米和1000 毫米。依此方式繼續將B1紙張對切，則可以依序得到B2、B3、B4等等紙張尺寸。和A系列相比，B系列的紙張面積是同號A系列的

倍，例如B4紙張面積是A4的

倍。

C系列的制定基礎是將A系列和B系列的尺寸作幾何平均而求得的。例如C4的紙張尺寸是A4和B4尺寸的幾何均，且紙張長寬比仍為