佩爾方程，是一種不定二次方程。Pell方程，古希臘和印度的數學家對此類方程的研究做了最早的貢獻，由費馬首先進行了深入研究，拉格朗日給出了解決方案，但後此類方程來卻被歐拉誤記為佩爾提出，並寫入他的著作中。後人多稱佩爾方程。沿續至今。
基本介紹
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基本介紹
佩爾方程是一種不定二次方程。
古希臘數學家在計算2的平方根時，嘗試使用了這類方程中的一個，婆羅摩笈多(Brahmagupta)對佩爾方程的研究進行了最早的貢獻，佩爾方程和歐幾里德算法一起使用，可計算一個正整數的平方根的近似值。由於歐拉最早把此類方程稱為佩爾方程，所以就有了這個名詞了。實際上，數學家費馬深入研究了這類方程，拉格朗日給出了解決方案。所以在數學界，它也被稱為“佩爾-費馬方程”。
設d是正整數，且非平方數。
(1)一定有無窮多組正整數解
這是初等數論中最經典的內容之一。
假設(
)是①中使
最小的正整數解（稱(1)的基本解）， 那么①的所有的正整數解可寫為
x_n=1/2[(x_1+y_1d^0.5)^n+(x_1-y_1d^0.5)^n]
y_n=1/(2d^0.5)[(x_1+y_1d^0.5)^n-(x_1-y_1d^0.5)^n]
∴x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0d^0.5)^(n+1)
且不難導出x_n,y_n滿足的線性遞推關係
x_n=2x_1x_(n-1)-x_(n-2)
y_n=2x_1y_(n-1)-y_(n-2)
在一般的函式域上，我們也有類似的佩爾方程， 它和向量叢的穩定性有著微妙的關係。
以上的公式就是Pell方程的一般形態
佩爾方程通解
d不為完全平方數時時存在無窮多個解
解的存在性證明：
(1) 首先證明存在無窮多個正整數
滿足
.
記
=
，考察集合
，顯然對於任意正整數Q>1，均存在
滿足
（事實上，此集合中每個元數都在(0,1)之內. 作區間
、
、
、
，那么當
從0取到Q時，由抽屜原理即知）
於是
，
即
.
讓Q從小到大取遍所有正整數，就可得到無窮多組正整數
. 證畢
(2) 其次對如上的
我們有
，
於是
，這意味著
只能取到有限個整數，因此必存在
使得
有無窮多解.
(3) 對於上述的無窮多組
，由抽屜原理，必存在兩組解
與
，滿足
，
.
考慮
和
，
將兩式相乘可得
因為同餘關係所以
為整數，因為解與不同，所以可以推知
,
那么
就是Pell方程的一個解。命題得證。
第II型
定義
設d是正整數，且非平方數。
下面的不定方程稱為第II型佩爾（Pell）方程：
x^2-dy^2=-1......②
第II型解
如果②有正整數解，設(a,b)是②的正整數解中使x+y√d最小的解（稱(a,b)為②的基本解），則②的全部正整數解可以表示為：
x+y√d=(a+b√d)^(2n+1) （n為任意正整數）
而且記x0+y0√d=(a+b√d)^2，則(x0,y0)為①的基本解。
但判定方程②是否有正整數解是一件十分困難的事情。見下面的方法。
pell方程解
採用D的算術平方根的循環簡單連分數，令a0=D的算術平方根,a(n+1)=1/(an-[an]),作數列bn=[an],則bn就是D的算術平方根的連分數的那些分母做成的數列，D^0.5=[b0,b1,b2,b3,......]請參考連分數詞條，事實上，當D是非平方正整數時，D的平方根可以唯一的用循環簡單連分數表示為[c0,c1,c2,...cm,2c0,c1,c2,...,2c0,...]，此時，若是m是奇數，則[c0,c1,c2,...cm]=x/y(化簡為分子分母都是整數的普通分數後，且此時是最小解),而用前任意節循環節除去最後一個數2c0後得到的漸近分數都可以作為pell方程的解；若m是一個偶數，則pell方程的最小解需要用到前兩節循環節除去最後的2c0,此時前1，3，5，...節循環節除去最後的2c0後得到的解將會是x^2-dy^2=-1的解，前2，4，6，...節循環節除去最後的2c0得到的都是pell方程的解。順便提一下，當m是奇數的時候，x^2-dy^2=-1無正整數解。
解較大pell
92x^2+1=y^2,印度的婆什迦羅在他的文集中提到：能在一年內找出它的正整數解的人可以叫做數學家。而其實它的解並不大，婆什迦羅處理的都是特殊的pell方程，並未對一般情形做出證明，但是在中世紀，這已經是印度數學的最高成就，最小的x=120，y=1151，由(1151-120*1151^0.5)^n展開可以得到任意多組解（其實是所有解），其它的pell方程的通解也能這樣得到；
271x^2+1=y^2,根號271的連分數到第一節循環節為止是[16,2,6,10,1,4,1,1,2,1,2,1,15,1,2,1,2,1,1,4,1,10,6,2,32],除去最後的32，得到最小的解為x=7044978537,而y=115974983600
666x^2+1=y^2,x=1060380,y=27365201
991x^2+1=y^2，991的算術平方根的簡單連分數循環節長度達到60位，運算量很大，這導致它最小的解也是一個天文數字，x=12055735790331359447442538767，這時y=379516400906811930638014896080。
