佩爾方程,是一種不定二次方程。Pell方程,古希臘和印度的數學家對此類方程的研究做了最早的貢獻,由費馬首先進行了深入研究,拉格朗日給出了解決方案,但後此類方程來卻被歐拉誤記為佩爾提出,並寫入他的著作中。後人多稱佩爾方程。沿續至今。
基本介紹
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基本介紹
佩爾方程是一種不定二次方程。
古希臘數學家在計算2的平方根時,嘗試使用了這類方程中的一個,婆羅摩笈多(Brahmagupta)對佩爾方程的研究進行了最早的貢獻,佩爾方程和歐幾里德算法一起使用,可計算一個正整數的平方根的近似值。由於歐拉最早把此類方程稱為佩爾方程,所以就有了這個名詞了。實際上,數學家費馬深入研究了這類方程,拉格朗日給出了解決方案。所以在數學界,它也被稱為“佩爾-費馬方程”。
設d是正整數,且非平方數。
![](/img/9/53c/164499aeaa431e877bc4aa089907.jpg)
(1)一定有無窮多組正整數解
這是初等數論中最經典的內容之一。
假設(
)是①中使
最小的正整數解(稱(1)的基本解), 那么①的所有的正整數解可寫為
![](/img/7/883/81618f0a86f61967d0e403917c73.jpg)
![](/img/4/7f8/4269089ac9e4b115eefb56068eeb.jpg)
x_n=1/2[(x_1+y_1d^0.5)^n+(x_1-y_1d^0.5)^n]
y_n=1/(2d^0.5)[(x_1+y_1d^0.5)^n-(x_1-y_1d^0.5)^n]
∴x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0d^0.5)^(n+1)
且不難導出x_n,y_n滿足的線性遞推關係
x_n=2x_1x_(n-1)-x_(n-2)
y_n=2x_1y_(n-1)-y_(n-2)
在一般的函式域上,我們也有類似的佩爾方程, 它和向量叢的穩定性有著微妙的關係。
以上的公式就是Pell方程的一般形態
佩爾方程通解
d不為完全平方數時時存在無窮多個解
解的存在性證明:
(1) 首先證明存在無窮多個正整數
滿足
.
![](/img/4/665/30cdb6571f28db77c80586c8fc8c.jpg)
![](/img/e/361/265c4a3b9c71a7c37df87320ca0a.jpg)
記
=
,考察集合
,顯然對於任意正整數Q>1,均存在
滿足
(事實上,此集合中每個元數都在(0,1)之內. 作區間
、
、
、
,那么當
從0取到Q時,由抽屜原理即知)
![](/img/3/b44/62ae7a0de9540e8061b24f810e63.jpg)
![](/img/c/cab/60378469a9a5401bda0b9966fb80.jpg)
![](/img/3/87d/2eaf2996d90cae499c70f8e7d6fe.jpg)
![](/img/b/fa2/69551139a1c9be53749ed50d21d9.jpg)
![](/img/3/071/30c3f4bb6516e6087f69b0ce948e.jpg)
![](/img/4/3c3/064308e2cb166939eaf212a2d34b.jpg)
![](/img/4/26c/bc46655effeb1afe7c1744fd962c.jpg)
![](/img/a/3c2/7fc78bb79816a9392948330f7652.jpg)
![](/img/6/2e0/d504ebf312c8d4d56c63cb1d4a72.jpg)
![](/img/8/0bf/c21ab16502552075ea910a8d8ba6.jpg)
於是
,
![](/img/a/73c/6ce2e1fd21d3688141e7e1ebaaa6.jpg)
即
.
![](/img/f/02e/8818f88d2cf37801a0a76275ac1a.jpg)
讓Q從小到大取遍所有正整數,就可得到無窮多組正整數
. 證畢
![](/img/d/e9c/e1570f16bd16e989861c1d538887.jpg)
(2) 其次對如上的
我們有
,
![](/img/f/ef8/5d3ad7bf743dbf1c485dd3c1093a.jpg)
![](/img/7/827/93543f03ff7e70607a546462cfee.jpg)
於是
,這意味著
只能取到有限個整數,因此必存在
使得
有無窮多解.
![](/img/5/581/b3a054b96d1b53891c036f6c08c8.jpg)
![](/img/7/3f6/488382385ae49cd0c19581f9b586.jpg)
![](/img/1/75d/0fe4fb4d0c8795cb042165c80569.jpg)
![](/img/4/31e/c3ac1e5d1b2cb2249afe20a9ae55.jpg)
(3) 對於上述的無窮多組
,由抽屜原理,必存在兩組解
與
,滿足
,
.
![](/img/0/ba7/e915df24e71a37baf3eff7da820d.jpg)
![](/img/3/d0e/d1600c84523d6bf01939c2871cae.jpg)
![](/img/6/e39/6b400e8b12d748ec33dfd5d2266c.jpg)
![](/img/0/2d7/f26a81d28dcc3369358402f78097.jpg)
![](/img/d/64e/4217079bdae6cdd0a8bd7824c71e.jpg)
考慮![](/img/7/f3e/7c55f6b42e5faba98949c1ab66d3.jpg)
![](/img/7/f3e/7c55f6b42e5faba98949c1ab66d3.jpg)
和
,
![](/img/b/cb4/a411c53f58f7834ba1ec5a3a1df7.jpg)
將兩式相乘可得![](/img/8/308/acf1f7a255440fe4c1fb05d1c8b7.jpg)
![](/img/8/308/acf1f7a255440fe4c1fb05d1c8b7.jpg)
因為同餘關係所以
為整數,因為解
與
不同,所以可以推知
,
![](/img/1/ccd/e5e085d61b68cf224b8f1dcc1a43.jpg)
![](/img/3/d0e/d1600c84523d6bf01939c2871cae.jpg)
![](/img/6/e39/6b400e8b12d748ec33dfd5d2266c.jpg)
![](/img/7/f4e/4b66fbd40834bfeb147e1da7482b.jpg)
那么
就是Pell方程的一個解。命題得證。
![](/img/b/138/cb0ee41661546d9208fed982c19b.jpg)
第II型
定義
設d是正整數,且非平方數。
下面的不定方程稱為第II型佩爾(Pell)方程:
x^2-dy^2=-1......②
第II型解
如果②有正整數解,設(a,b)是②的正整數解中使x+y√d最小的解(稱(a,b)為②的基本解),則②的全部正整數解可以表示為:
x+y√d=(a+b√d)^(2n+1) (n為任意正整數)
而且記x0+y0√d=(a+b√d)^2,則(x0,y0)為①的基本解。
但判定方程②是否有正整數解是一件十分困難的事情。見下面的方法。
pell方程解
採用D的算術平方根的循環簡單連分數,令a0=D的算術平方根,a(n+1)=1/(an-[an]),作數列bn=[an],則bn就是D的算術平方根的連分數的那些分母做成的數列,D^0.5=[b0,b1,b2,b3,......]請參考連分數詞條,事實上,當D是非平方正整數時,D的平方根可以唯一的用循環簡單連分數表示為[c0,c1,c2,...cm,2c0,c1,c2,...,2c0,...],此時,若是m是奇數,則[c0,c1,c2,...cm]=x/y(化簡為分子分母都是整數的普通分數後,且此時是最小解),而用前任意節循環節除去最後一個數2c0後得到的漸近分數都可以作為pell方程的解;若m是一個偶數,則pell方程的最小解需要用到前兩節循環節除去最後的2c0,此時前1,3,5,...節循環節除去最後的2c0後得到的解將會是x^2-dy^2=-1的解,前2,4,6,...節循環節除去最後的2c0得到的都是pell方程的解。順便提一下,當m是奇數的時候,x^2-dy^2=-1無正整數解。
解較大pell
92x^2+1=y^2,印度的婆什迦羅在他的文集中提到:能在一年內找出它的正整數解的人可以叫做數學家。而其實它的解並不大,婆什迦羅處理的都是特殊的pell方程,並未對一般情形做出證明,但是在中世紀,這已經是印度數學的最高成就,最小的x=120,y=1151,由(1151-120*1151^0.5)^n展開可以得到任意多組解(其實是所有解),其它的pell方程的通解也能這樣得到;
271x^2+1=y^2,根號271的連分數到第一節循環節為止是[16,2,6,10,1,4,1,1,2,1,2,1,15,1,2,1,2,1,1,4,1,10,6,2,32],除去最後的32,得到最小的解為x=7044978537,而y=115974983600
666x^2+1=y^2,x=1060380,y=27365201
991x^2+1=y^2,991的算術平方根的簡單連分數循環節長度達到60位,運算量很大,這導致它最小的解也是一個天文數字,x=12055735790331359447442538767,這時y=379516400906811930638014896080。