類方程

類方程是數學術語，設 G 為有限群，群 G 的元素按共軛關係分成一個個共軛類。類方程是指有限群的階與其共扼類的長度之間的一個等式。

基本介紹

• 中文名：類方程
• 外文名：class equation
• 適用範圍：數理科學

簡介

設 G 為有限群，群 G 的元素按共軛關係分成一個個共軛類。設是 G 的全部共軛類。習慣上。在每個共軛類中取一個代表元，於是共軛類的長度為。進而有

上面的等式稱為 G 的類方程。

共軛

互為共軛的子集在同一軌道里，這個軌道一般叫做共軛類，共軛類中的元素互為共軛。子集S的穩定子滿足gSg⁻¹=S，它也稱為S的正規化子，記作N(S)，它是一個子群。這樣一來，共軛類的中的元素和N(S)的陪集一一對應，每個共軛類中有[G:N(S)]個元素。進一步地，共軛類中每個元素的正規化子有N(gSg⁻¹)=gN(S)g⁻¹，它們也形成一個共軛類。

首先，以上X中可以只取那些只有一個元素的子集，這個情況等價於X=G，這就相當於定義了群元素間的共軛關係。群的元素在共軛的作用下分成了多個等價類，而不動元素FG顯然就是中心C。如果中心元有c個，其它等價類C_k分別有c_k個元素（k=1,2,⋯,m），則類方程變成：G=C∪C₁∪C₂∪⋯∪C_m，|G|=c+c₁+c₂+⋯+c_m。

其次，還可以把X中的元素限定為子群，這就定義了共軛子群。共軛子群具有共軛子集一樣的性質，只是在子集和其正規化子的關係上有本質不同。對一般子集，不一定有S⊆N(S)，而對於子群H不僅有H⊆N(H)，還有H⊴N(H)。從另一個角度看，N(H)其實是通過縮小G來使H成為正規子群，N(H)是G中使H稱為正規子群的最大子群。考察H的所有共軛子群之交K=∩H_k，可以證明aH_ka⁻¹任然包含所有H的共軛子群，從而恆有aKa⁻¹=K，即K為正規子群。特別的，如果H的指數有限，則K的指數也有限。

相對於單個元素的正規化子，子集的正規化子其實是被弱化的。正規化子N(x)是所有滿足axa⁻¹=x的元素，即所有與x可交換的元素。為此可以定義與子集S所有元素可交換的集合，稱它為S的中心化子，並記做C(S)。容易證明它也是子群，並且有C(S)⊴N(S)成立。而對單個元素顯然有：C(x)=N(x)。