非線性積分方程

非線性積分方程(nonlinear integral equation)是指不具有線性性質的一類積分方程。如果未知函式在積分號下是以非線性形式出現的，這種方程就稱為非線性積分方程。非線性積分方程也可以被分成多種類型，例如，弗雷德霍姆型、沃爾泰拉型、哈默斯坦型等。

基本介紹

• 中文名：非線性積分方程
• 外文名：nonlinear integral equation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：積分方程(非線性積分方程)
• 舉例：弗雷德霍姆型、沃爾泰拉型等

基本介紹

不具有線性性質的一類積分方程就是非線性積分方程。如果未知函式在積分號下是以非線性形式出現的，這種方程就稱為非線性積分方程。例如，

當不是的線性函式時，就是非線性積分方程。非線性積分方程也可以被分成多種類型，例如，弗雷德霍姆型、沃爾泰拉型、哈默斯坦型等。

由於自然界和工程技術中出現的大量問題都是非線性的，因此，在數學物理中研究過的一些線性方程，只能是在一定條件下對實際問題的近似描述。為了更精確地刻畫客觀現象，就完全有必要研究非線性積分方程。如果把積分方程中出現的函式看做是巴拿赫空間X中的元素，把原來的積分運算用運算元T來代替，就將得到一個運算元方程。

近年來非線性積分方程的研究已有很大的發展，但是還沒有系統的理論。即使是討論可解性問題上也存在著不少困難，這主要是與線性積分方程的研究方法有著本質的不同。這一理論的進一步發展在很大程度上依賴於現代泛函分析、運算元理論以及紹德爾不動點原理等數學分支的發展。

Fredholm型非線性積分方程

考慮下列Fredholm（弗雷德霍姆）型非線性積分方程

其中是參數，是變數的未知函式。

定理1 設是上的實連續函式，是和的連續函式，關於u滿足Lipschitz條件：

其中及均為常數，此時存在常數,及，使，及，不妨設，則當參數適合條件

時，方程(1)有惟一連續解，這個解可用逐次逼近法求出：

並且函式列絕對一致收斂到方程(1)的解。

Volterra型非線性積分方程

考慮如下Volterra（沃爾泰拉）型非線性積分方程：

定理2 設是定義在上的已知實連續函式，是和的連續函式，且關於u滿足Lipschitz條件。這裡為常數，則存在常數及，使，不妨設，則當滿足條件

時，方程(2)有惟一連續解。可由如下疊代得到

且絕對一致收斂到（2）的解。

Hammertein型非線性積分方程

在非線性積分方程中，研究較多的是下列的Hammerstein(哈默斯坦)型積分方程(integral equation of the Hammerstein type)。

其中為已知函式。

定理1 設核是連續實對稱正核，連續並滿足如下條件：

(1) 存在，使得

(2) 存在，使得

其中真是積分運算元的最小特徵值，則方程(3)在中至少有一解。

定理2 設核為連續實對稱正核，連續，並且存在及(同上)，使

則(3)在中至少有一解。

定理3 如果對任何固定的是u的非減函式，則(3)至多有一解。