《非線性發展方程整體解及相關無窮維動力系統的研究》是依託復旦大學，由吳昊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性發展方程整體解及相關無窮維動力系統的研究
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：吳昊
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目重點研究從物理學、材料科學、流體力學中提出的一系列重要非線性發展方程組，例如：關於向列型液晶、層列型液晶的流體力學方程組；兩相混合不可壓縮流體力學方程組；關於費米氣體在BCS-BEC越渡區域性質的 Ginzburg-Landau-Schrodinger 耦合方程組等等。我們將深入研究這些非線性發展方程組整體解的存在唯一性、正則性等性質。在此基礎上，我們將發展和推廣文獻中的Lojasiewicz-Simon 方法，來研究當時間趨於無窮大時整體解對平衡態的收斂性，並給出收斂速率的估計。同時，我們還將考察問題相應無窮維動力系統的性質，例如，整體吸引子的存在性、正則性及其結構、指數吸引子的存在性等等。本項目研究的問題具有重要的物理背景，在數學方法上有發展和創新，獲得的關於發展方程整體解性質的結果在數學上有創新性並為數值計算模擬和實驗提供了理論依據，具有重要的理論與實際意義。
結題摘要
本項目研究了從物理學、材料科學、流體力學中提出的一系列重要的非線性發展方程組。基於項目計畫書擬定的研究內容，我們考察了如下幾類具體問題：可壓或不可壓的向列相、近晶相液晶流體力學方程組；描述熱致 Marangoni 效應的不可壓兩相流體力學方程組、多孔介質中的兩相流體力學方程組，關於生物膜形變的相場-流體方程組；關於費米氣體在 BCS-BEC 越渡區域性質的 Ginzburg-Landau-Schrodinger 耦合方程組等。我們首先考察了這些非線性發展方程組的適定性（如弱解、強解的局部、整體存在性，解的唯一性、解的正則性等）。在此基礎上，我們研究了方程組整體解的大時間漸近性態。一方面，我們發展和推廣了文獻中的 Lojasiewicz-Simon 方法，研究了大初值條件下當時間趨於無窮大時發展方程整體解對平衡態的收斂性並給出收斂速率的估計，同時也研究了平衡態在小擾動下的穩定性。另一方面，我們考察了發展方程組相應無窮維動力系統的性質，例如，整體吸引子、指數吸引子的存在性、正則性及其結構、維數估計等。本項目研究的發展方程組具有重要的物理背景，為克服方程複雜的非線性耦合結構帶來的數學上的困難，我們在數學方法上有發展和創新，獲得的關於發展方程整體解性質的成果在數學上有創新性並為數值計算模擬和實驗提供了理論依據。在本項目資助下，目前正式發表SCI論文14篇，部分成果發表在 Arch. Rational Mech. Anal., SIAM J Math. Anal., Calc. Var. PDEs, J. Differential Equations 等高水平數學專業雜誌上。
