基本介紹
- 中文名：阿基米德螺線
- 外文名：Archimedean spiral
- 別名：阿基米德曲線
- 提出者：阿基米德
- 提出時間：公元前三世紀
- 套用學科：數學
數學表達,幾何畫法,歷史沿革,自然界中螺線,套用,
數學表達
阿基米德螺線的極坐標方程式為：
阿基米德螺線
阿基米德螺線的平面笛卡爾坐標方程式為：
通用的從笛卡爾坐標繫到極坐標系的變換方法：
根據最新的研究表明，阿基米德螺旋公式可以用指定的半徑r，圓周速度v，直線運動速度w來表示，公式為
根據這一公式，當圓周速度與直線速度同時增大一倍時，阿基米德螺旋的形狀是不會發生變化的，因此，阿基米德螺旋屬於等速度比螺旋，同時由於它在每個旋轉周期內是等距離外擴的，故又可稱它為等距螺旋。
阿基米德螺旋的切線角度沒有特定的規律，通過數學軟體，按照求導數的方法，每隔45°做切線，會得到如圖1的效果。
圖1 等距螺旋
幾何畫法
1.阿基米德螺線的幾何畫法
以適當長度(OA)為半徑，畫一圓O；作一射線OA；作一點P於射線OA上；模擬點A沿圓O移動，點P沿射線OA移動；畫出點P的軌跡；隱藏圓O、射線OA&點P；即可得到螺線
2.阿基米德螺線的簡單畫法
有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環，把線軸按在一張紙上，並在小環內套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，並保持線在拉緊狀態，然後在紙上畫出由線軸鬆開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。
歷史沿革
阿基米德（約公元前287～前212），古希臘偉大的數學家、力學家。他公元前287年生於希臘敘拉古附近的一個小村莊。
阿基米德
公元前276年，也就是阿基米德十一歲時，阿基米德被父親送到埃及的亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生埃拉托塞和卡農學習。亞歷山大城位於尼羅河口，是當時世界的知識、文化貿易中心，學者雲集，人才薈萃，被世人譽為“智慧之都”。舉凡文學、數學、天文學、醫學的研究都很發達。
阿基米德在亞歷山大跟隨過許多著名的數學家學習，包括有名的幾何學大師—歐幾里德，阿基米德在這裡學習和生活了許多年，他兼收並蓄了東方和古希臘的優秀文化遺產，對其後的科學生涯中作出了重大的影響，奠定了阿基米德日後從事科學研究的基礎。
公元前240年，阿基米德由埃及回到故鄉敘拉古，並擔任了國王的顧問。從此開始了對科學的全面探索，在物理學、數學等領域取得了舉世矚目的成果，成為古希臘最偉大的科學家之一。後人對阿基米德給以極高的評價，常把他和牛頓、高斯並列為有史以來三個貢獻最大的數學家。
據說，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(歐幾里德的弟子)發現的。柯農死後，阿基米德繼續研究，又發現許多重要性質，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了。
與希皮亞斯割圓曲線相類似，可以用來化圓為方。不過，後者也是阿基米德自己完成的。如圖2，螺線P=aθ的極點為O，第一圈終於點A。以O為圓心，a為半徑作圓，則圓周長等於=OA。這樣，阿基米德輕易解決化圓為方問題。
稍遲於阿基米德的阿波羅尼斯用圓柱螺線解決了化圓為方問題，如圖2所示。設圓O是一直圓柱之底面，A是螺旋線之起始點。螺旋線在其上任一點P處的切線交底所在平面於T。則PT在底平面上的投影BT與AB相等。因此，當P點恰好為A點所在母線上離A最近的點時，TB與圓周長相等。從而化圓為方問題得以解決。
圖2 化圓為方
在阿波羅尼斯之後，機械師卡普斯（Carpus）也解過化圓為方問題。他所用的“雙重運動曲線”今已失傳，據數學史家唐內里（P. Tannery, 1843～1904）推測，它是擺線，亦即卡普斯是通過將圓沿直線滾動一周獲得圓周長的（圖3）。文藝復興時期，義大利著名藝術大師達·文西（1452～1519）為化圓為方問題所吸引，並獲巧妙方法。如圖3，設圓半徑為R，以圓為底作高為R/2的圓柱，然後將圓柱在平面上滾動一周，得矩形。將矩形化方，即完成化圓為方。
圖3 化圓為方
以上我們看到，希臘人很早就意識到（但未能證明）三大難題不能以尺規在有限步驟內完成。但它們看似如此簡單，以至希臘人未能抵制誘惑；他們不斷尋求尺規以外的方法，結果導致圓錐曲線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線和螺線等高次曲線和超越曲線的相繼發現。三大難題使一代又一代希臘數學家顯示了非凡的聰明才智，並深刻影響了希臘幾何的整個發展過程。
三大難題的魅力並未隨希臘文明的淪亡而消失。事實上，從希臘以後特別是歐洲文藝復興時期以來直到本世紀，對於它們的研究從未停止過。
1837年，年輕的法國數學家萬采爾（P. L. Wantzel，1814～1848）證明了三等分角和倍立方尺規作圖之不可能性。1882年，德國數學家林德曼（C. Lindemann, 1852～1938）證明了π的超越性，從而證明了化圓為方的尺規作圖之不可能性。以後數學家們又還建立了兩條一般定理：
定理1任何可用尺規由已知單位長度作出的量必為代數數；
定理2若一有理係數三次方程沒有有理根，則它的根不可能用尺規由一給定單位長度作出。
自然界中螺線
自然界中，在千姿百態的生命體上發現了不少螺線。如原生動物門中的砂盤蟲；軟體動物門中梯螺科中的尖高旋螺，鳳螺科中的溝紋笛螺，明螺科中的明螺，又如塔螺科的爪哇擬塔螺、奇異寬肩螺、筍螺科的擬筍螺等大多數螺類，它們的外殼曲線都呈現出各種螺旋狀；在植物中，則有紫藤、蔦蘿、牽牛花等纏繞的莖形成的曲線，菸草螺旋狀排列的葉片，絲瓜、葫蘆的觸鬚，向日葵籽在盤中排列形成的曲線；甚至構成生命的主要物質——蛋白質、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋結構，如人類遺傳基因(DNA)中的雙螺旋結構。其中，自然界中的砂盤蟲化石，蛇盤繞起來形成的曲線等都可以構成阿基米德螺線。
螺線之所以在生命體中廣泛存在，是由於螺線的若干優良性質所確定。而這些優良性質直接或間接地使生命體在生存鬥爭中獲得最佳效果。由於在柱面內過柱面上兩點的各種曲線中螺線長度最短，對於蔦蘿、紫藤、牽牛花等攀緣植物而言，如何用最少的材料、最低的能耗，使其莖或藤延伸到光照充足的地方是至關重要的。而在各種曲線中，螺線就起到省材、節約能量消耗的作用，在相同的空間中使其葉子獲取較多的陽光，這對植物光合作用尤為重要，像菸草等植物輪狀葉序就是利用形成的螺旋面能在狹小的空間中(其他植物的夾縫中)獲得最大的光照面積，以利於光合作用。形成螺線狀的某些物體還有一種物理性質，即像彈簧一樣具有彈性(或伸縮性)。在植物中絲瓜、葫蘆等莖上的擬圓柱螺線狀的觸鬚就是利用這個性質，能使其牢固地附著其他植物或物體上。即使有外力（如風等）的作用，由於螺線狀觸鬚的彈性(或伸縮性)，使得纖細的觸鬚不易被拉斷，並且當外力消失後，其彈性(或伸縮性)又能保證莖葉能恢復到原來的位置。螺旋線對於生活在水中的大多數螺類軟體動物也是十分有意義的。觀察螺類在水中的運動方式，通常是背負著外殼前進，殼體直徑較粗大的部分在前，螺尖在後。當水流方向與運動方向相反時，水流沿著殼體螺線由直徑較大的部分旋轉到直徑較小的部分直到螺尖。水速將大大減小，這樣位於殼體後水的靜壓力將大於殼體前端的靜壓力。在前後壓力差的作用下，殼體將會自動向前運動。這樣一來，來自水流的阻力經錐狀螺線的轉化變為前進的動力。除此而外，分布在螺類外殼上的螺線像一條肋筋，大大增加了殼體的強度，也分散了作用在殼體上的水壓。
套用
最初套用：螺旋揚水器
為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，阿基米德發明了圓筒狀的螺旋揚水器，後人稱它為“阿基米德螺旋”。
阿基米德螺旋是一個裝在木製圓筒里的巨大螺旋狀物（在一個圓柱體上螺旋狀地繞上中空的管子），把它傾斜放置，下端浸入水中，隨著圓柱體的旋轉，水便沿螺旋管被提升上來，從上端流出。這樣，就可以把水從一個水平面提升到另一個水平面，對田地進行灌溉。“阿基米德螺旋”揚水機至今仍在埃及等地使用。
工程套用：阿基米德螺旋泵
阿基米德螺旋泵的工作原理是當電動機帶動泵軸轉動時,螺桿一方面繞本身的軸線旋轉,另一方面它又沿襯套內表面滾動,於是形成泵的密封腔室。螺桿每轉一周,密封腔內的液體向前推進一個螺距,隨著螺桿的連續轉動,液體螺旋形方式從一個密封腔壓向另一個密封腔,最後擠出泵體。螺桿泵是一種新型的輸送液體的機械,具有結構簡單、工作安全可靠、使用維修方便、出液連續均勻、壓力穩定等優點。
生活套用：蚊香的幾何特徵
將一單盤蚊香光滑面朝上，放置一水平面上，自上俯視，會觀察到的蚊香平面圖。將這條曲線單獨繪製出來，並加上一定的標誌，得到了蚊香香條曲線圖。點O為直線AB與曲線AB若干交點中位於最中間的一個交點。曲線OA實際上是單盤蚊香的香條外側邊線。觀察不同廠牌蚊香的實物，會發現其對應的OA曲線上，接近點的一段，也就是所謂“太極頭”部位的曲線，在形狀上各有不同，但對於剩下的一大段曲線PA，則具有這樣的特徵：曲線PA E任取一點Q，假使點Q可在曲線PA上移動，則點Q越接近點A，點Q與點O的直線距離(以r表示)越大；而且，每移動一定角度(以θ表示)，增加的值與該角度成正比。用數學語言描述曲線QA的上述特徵，可表示為： △φ=k△θ，或
式(1)中，k和C均為恆定常數，若以點O為極點，建立極坐標，則選擇適當方位的極軸，可以將式(1)轉移為：
式(2)中α為點A，即香條末端對應的極角。式(2)所描述的曲線一單盤蚊香香條外側邊線．實際上正是“阿基米德螺線”。
需要說明的是，式(2)所描述的只是蚊香“太極頭”之外的香條曲線方程，由於不同廠牌蚊香的“太極頭”沒有統一固定的形狀，所以無法對其作出確切的描述。同時，由於“太極頭”一段香條的長度極短，因而其形狀對蚊香香條長度的影響事實上也可以忽略不計。
