割圓曲線(quadratrix)亦稱圓積線，一類特殊曲線，指解決化圓為方問題的曲線。求作一個正方形，使它的面積與已知圓的面積相等，稱為化圓為方問題。凡是可以用來解決化圓為方問題的曲線，都稱為割圓曲線。例如，阿基米德螺線、蝸牛線、琴豪生割圓曲線、奧扎南曲線都是割圓曲線。而最有名的要算狄諾斯特拉托斯割圓曲線y=x cot(πx/2a)，(|x|≤a)，狄諾斯特拉托斯割圓曲線是希皮亞斯(Hippias，(E))發現的，在各種曲線里，除去直線和圓以外，就算它發現得最早了，用它很容易解決三等分任意角問題，狄諾斯特拉托斯(Dinostratus)繼續研究這種曲線，發現可以用它解決化圓為方問題。
基本介紹
- 中文名：割圓曲線
- 外文名：quadratrix
- 別名：圓積線
- 發現者：希皮亞斯
- 套用：解三等分角和化圓為方問題
定義,割圓曲線的形成,化圓為方—求圓面積問題,利用割圓曲線解三等分角問題,
定義
割圓曲線是一種平面曲線，其直角坐標方程為
其中r 為以原點為圓心的圓的半徑(圖1，r=OA)。
圖1割圓曲線亦可用動點的軌跡來定義。直線OM繞點O勻速轉動(順時針方向)，與y軸平行的直線A'B'同時開始沿x軸方向平移。當OM旋轉90°時，A'B'恰好平移距離OA=r，這樣，OM與A'B'的交點P的軌跡就是割圓曲線之一段。
割圓曲線是在研究解古代三大作圖問題(化圓為方、三等分角和倍立方)時的一種數學成果。大約在公元前420年，希庇亞斯發現了稱做割圓曲線(quadratrix)的超越曲線，並發現它可以用於解三等分角和化圓為方兩個問題。
割圓曲線的形成
割圓曲線可由以下方法形成——
作一個正方形，它的底邊為AB，讓AB從底邊的位置開始沿反時針方向，以一個固定的角速度繞A點旋轉，另一方面，平行於AB的線段(其端點位於AD和BC)也從AB開始，以一個固定的線速度運動。這兩條運動線段的交點所形成的便是割圓曲線。以下的比總是相等的：
圖2
圖3圖4說明了與割圓曲線上D，K和E相聯繫的一些點。水平的虛線段表示邊以固定的線速度運動，而沿圓弧
所引的半徑表示線段以固定的角速度運動。它們的交點D，I，J，K，L，M，E是割圓曲線上的點。
圖4化圓為方—求圓面積問題
設ABCD 是正方形，BED 是圓的一個象限，圓心在點A。
設：(1)圓的半徑均勻地繞著A轉動，由AB轉到AD的位置；(2)同時，直線BC亦均勻地沿著BA與AD平行地移動，最後移到AD的位置。於是轉動的半徑和移動的直線最後都與AD重合，而在這以前，轉動的半徑和移動的直線將有交點，如F或N。這種點的軌跡稱為割圓曲線(quadratrix)，圖5。
圖5這曲線的性質是： ∠BAD :∠EAD= 弧BED :弧ED= AB :FH。
設割圓曲線與AD 交於G，如果能夠證明：
象限BED的弧長：AB= AB：AG。
那么就可求得象限BED的弧長，因而就可求得圓周的長度。設上述的比不等於AB：AG，不妨設這比等於AB：AK，AK或大於AG，或小於AG。
(1) 設AK>AG，圖6，以A 為圓心,AK 為半徑,作象限KFL 交割圓曲線於F，交AB於L。聯結AF，延長AF交圓周BED於E，作FH 垂直於AD。
圖5
圖6根據假定
弧BED :AB= AB : AK= 弧BED : 弧LFK。
所以，AB= 弧LFK，
但由割圓曲線的性質：
AB : FH=弧BED :弧ED=弧LFK:弧FK。
已經證得AB=弧LFK，則得FH=弧FK，這是不可能的，因此AK 不能大於AG。
(2) 設AK<AG，以A為圓心，AK 為半徑，作象限KML，作AD的垂線KF交割圓曲線於F，聯結AF，交兩個象限於M，E(圖7)。
圖7如前，可證得：
AB= 弧LMK。
由割圓曲線的性質有：
AB :FK= 弧BED:弧DE=弧LMK : 弧MK。
由AB= 弧LMK，得FK= 弧KM，這是不可能的，因此AK不能小於AG。
總之，AK=AG，即：象限BED的弧長: AB=AB : AG。
象限的弧長既可求得，那么圓周長亦可求得。根據阿幾米德書中的定理:圓的面積等於以圓周長為底、半徑為高的直角三角形的面積，就可求得圓的面積了。
這個方法是有問題的，問題在於怎樣確定點G? 有人說，可將象限BED 平分，即作AE，使∠DAE=45*，作B'C'，則AB'=
AB。再將∠DAE平分，得AE'，二等分AB' 得B”，作B”C”，繼續下去，最後可得到在AD上的一點G，但這樣的方法乃是窮竭法，只能近似地得到G點，AG 的值是近似值，那么圓周長，圓面積都不可能是正確無誤的數值。其實，對化圓為方問題有興趣的不僅是希臘人，6 世紀的博埃斯(Boethius) 說，從亞里士多德時代以後，嘗試去解這問題的有許多人，博埃斯自己對用尺規作圖法去解此問題也是有過各種幻想的，許多人認為自己獲得解決了，但他們往往在無意中用進了不可能的或特殊條件的假設，然而也遇到了推翻自己論點的批評。直到1882 年林德曼(Lindemann)證明π的超越性以後，人們才完全認識到化圓為方問題是不可能用尺規作圖法去解決的。
利用割圓曲線解三等分角問題
設已知角為∠DAX，置角頂A於圓心，在圓內作割圓曲線，設AX 交割圓曲線於F，交圓於E。作FH⊥AD，將FH 三等分於K，作KL//AD，KL交割圓曲線於L，那么∠DAL 就是∠DAX 的三等分角，圖8。
圖8因由割圓曲線的性質：弧ED：弧MD= FH : KH，
因為KH= 
FH，故：弧MD=弧ED，
因此∠LAD=∠DAX。
注意：如果將FHn等分，利用割圓曲線就可將已知角n等分。
