平均曲率半徑

平均曲率半徑是描述橢球面曲率的幾何量。即橢球面上一點所有方向法截線曲率半徑的算數平均值。旋轉曲面上點的平均曲率半徑等於該點兩主曲率半徑乘積的平方根(即幾何中數)，地球橢球面是一個旋轉曲面，該曲面上的一點的平均曲率半徑R=√MN，其中M和N分別為子午圈和卯酉圈曲率半徑。在測量與製圖中，常用某點的平均曲率半徑R為半徑的球面來代替該點附近的地球橢球面。

基本介紹

• 中文名：平均曲率半徑
• 外文名：mean radius of curvature
• 相關：子午圈、卯酉圈曲率半徑
• 套用：測量、製圖等
• 領域：測繪科學、天文學

定義

平均曲率半徑(mean radius of curvature)，是描述橢球面曲率的幾何量。即橢球面上一點所有方向法截線曲率半徑的算數平均值。旋轉曲面上點的平均曲率半徑等於該點兩主曲率半徑乘積的平方根(即幾何中數)，地球橢球面是一個旋轉曲面，該曲面上的一點的平均曲率半徑

其中，M和N分別為子午圈和卯酉圈曲率半徑。在測量與製圖中，常用某點的平均曲率半徑R為半徑的球面來代替該點附近的地球橢球面。

緯度	子午圈曲率半徑/m	卯酉圈曲率半徑/m	平均曲率半徑/m
0°	6335553	6378245	6356863
45°	6367491	6388945	6378209
90°	6399699	6399699	6399699

平均曲率半徑法求阿基米德螺旋線的代用圓弧

機械工程中，阿基米德螺旋線是一種最常用的曲線。

代用圓弧的求法通常有兩種：①三點共圓法：即在要替代的一段曲線上，取三點(通常是起點、中點、及終點)作一圓；②最小二乘法圖：使整段阿基米德螺旋線與其代用圓弧作比較，取其若干點的誤差平方和最小作目標函式，以最佳化方法求圓弧參數。這兩種方法都可獲得較高的精度，但前一方法的計算公式較複雜，後一方法要在計算機上運行才能得到結果。用平均曲率半徑求阿基米德螺旋線代用圓弧的新方法，其計算公式簡單，且可得到與三點共圓法相同的精度。

曲線的曲率表征了平面曲線的彎曲程度。圓的曲率是一常數，阿基米德螺旋線的曲率各點都不相同。用圓弧代替一段曲線，因曲率不同，總是要產生誤差。今設有一段阿基米德螺旋線(圖1)，其方程為

ρ=ρ₁+aθ（ρ——極徑；θ——極角；a——常數）

曲線起點A的坐標為A(ρ₁,0)，終點B的坐標為B(ρ₂,θ₂)，如果我們用A、B兩點的平均曲率半徑作此段曲線的代用圓弧半徑，很有可能使誤差達到最小。

阿基米德螺旋線的曲率公式為

代入A、B兩點的坐標,即可求出它們的曲率K_a、K_b及曲率半徑R_a、R_b，即

R_a=1/K_a；R_b=1/K_b

平均曲率半徑即代用圓弧半徑為

R_d=(R_a+R_b)/2

求出代用圓弧半徑後，圓心很容易求出，因為圓弧要通過A、B兩點，圓心必然在BA弦的垂直平分線上。根據幾何關係，可得

x_a=ρ1；y_a=0；x_b=ρ2cosθ；y_b=ρ2sinθ；x_c=(x_a+x_b)/2；y_c=(y_a+y_b)/2

tgβ=(x_a-x_b)/(y_b-y_a)

x_d=x_c-CDcosβ；y_d=y_c-CDsinβ

經檢驗得，其精度與三點共圓法相同。