酉幾何(unitary geometry)是一種向量空間的幾何。即關於非退化埃爾米特型H的有限維向量空間的研究。
基本介紹
- 中文名：酉幾何
- 外文名：unitary geometry
- 領域：數學
- 性質：關於向量空間的幾何
- 重要人物：埃爾米特
- 空間：迷向子空間
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概念
酉幾何(unitary geometry)是一種向量空間的幾何。即關於非退化埃爾米特型H的有限維向量空間的研究。設基域為含q個元的有限域Fq，其中有一個2階自同構a→a'=a，它的固定子域為Fq。對任意向量x，y，z及Fq中任意元a，b，這裡的埃爾米特型由以下兩式定義：
對取定的一組基{e1，e2，…，en}，埃爾米特型H的矩陣H=(H(ei，ej))滿足
，即為埃爾米特矩陣。設P是Vn(Fq)的m維子空間，代表子空間P的秩為m的m×n矩陣仍用P表示。設H是非奇異埃爾米特矩陣，若
，則稱P為全迷向子空間；若PH非奇異，則稱P為非迷向子空間。利用酉空間中不同類型的子空間，可以構作PBIBD設計及BIBD設計。例如，取有限域Fq上3維酉幾何中1維迷向子空間的全體作為處理的集合，並取其中2維非迷向子空間的全體作為區組的集合，規定關聯關係為子空間之間的包含關係，於是，由此得到一個(q+1，q+1，1)-BIBD。
向量空間
設K為交換體。稱賦以由下列兩個給定法則所定義的代數結構的集合E為K上的向量空間：
——記為加法的合成法則，
——記為乘法的作用法則，即從K×E到E中的映射，
這兩個法則滿足下列條件：
a)賦以加法的集合E是交換群；
b) 對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素x，
α(βx)=(αβ)x;
c) 對E的任一向量x，1x=x，其中1表示體K的單位元素；
d)對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素偶(x，y)，
(α+β)x=αx+βx
α(x+y)=αx+αy.
當體K不再假定為交換的時，滿足上述條件的集合E稱為K上的左向量空間；
如果條件α(βx)=(αβ)x換為α(βx)=(βα)x，則稱E為K上的右向量空間。在這種情況下，E上的作用法則記為：
例如，設K為交換體，而E為只有一個記為0的元素的集合. E賦以兩個法則：(0，0)↦0，(α， 0)↦0，則E為K上的向量空間。
迷向子空間
一種子空間。給定子空間按埃爾米特函式的正交子空間。設φ是域P上的線性空間V的埃爾米特函式。對埃爾米特函式而言，左、右正交是一致的。因此，若V中向量α，β的內積(α，β)=0，則稱α與β正交。設M是V的子空間，若M={α∈V|β∈M，φ(α，β)=0}，則M是V的子空間，稱為M的正交補(空間)。若M∩M≠0，則稱子空間M是迷向的；此時有非零向量α∈M使(α，α)=0，α稱為非零迷向向量。若MM，則稱M為全迷向子空間。若V為有限維線性空間，φ為非退化埃爾米特函式，則V=M⊕M，這時M與M的維數有關係：
酉代數
具有單位元的數學結構稱為酉數學結構.酉代數，即是對於乘法有單位元的結合代數。酉代數E的子代數稱為酉子代數，如果它含有E的單位元素。
例如，向量空間的全體自同態之代數是酉代數。但是，全體在R上連續且在無窮遠處趨於零的復值函式之代數不是酉代數。
自同態
指從群胚，么半群，群，環到其自身中的同態，向量空間在自身中的線性映射，等等。
設G為關於加法的交換群。賦以加法及法則(f，g)↦g°f的G的全體自同態之集是一個環。
設E為交換體K上的向量空間。賦以法則(f， g)↦g°f， E的全體自同態之向量空間是酉代數，記為ℒ(E)，或End(E)。元素g°f仍記為gf。A-模的情形是類似的。
人物簡介——埃爾米特
法國數學家。生於洛林(Lorraine)地區的迪約茲(Dieuze)，卒於巴黎。1842年進入巴黎理工科大學學習。由於先天性的右腿殘疾，他曾遭受到一些人的歧視，但是，不久，他就以對橢圓函式諸問題的深入研究，贏得了著名數學家雅可比的賞識。1848年擔任了巴黎理工科大學的輔導教師，1856年被選為巴黎科學院院士，1869年成為理工科大學分析學教授，並受聘為巴黎大學的高等代數教授。他還是彼得堡科學院的名譽院士。埃爾米特在特殊函式論、數論、高等代數、數學分析等許多方面都做了很有價值的工作。他研究了橢圓函式和阿貝爾函式的除法和變換，並套用橢圓函式解5次方程，解決了包含這種函式的力學問題。他推廣了高斯研究整係數有限二次型的方法，證明了它們對任意個變數其類數仍是有限的;深入考查了矩陣理論，證明了若矩陣M=M*，則其特徵根為實數。他還研究了正交多項式中的一類，即所謂埃爾米特多項式，又稱切比雪夫多項式;分析了多項式族與多變數的相似性，研究了整數用代數形表示的問題;引入了復二次型，稱為埃爾米特型，特別是在1873年證明了數e的超越性，這是很有名的結果。
