混合張量代數

代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。

設F為K上的向量空間，而T(F)為F的張量代數。則對從E到F中的任一線性映射f，存在唯一的從酉代數T(E)到酉代數T(F)中拓展f的同態.這個同態叫做線性映射f的張量開拓，記為T(f)。

混合張量代數(mixed tensor algebra)是張量代數的推廣。

基本介紹

• 中文名：混合張量代數
• 外文名：mixed tensor algebra
• 領域：代數
• 定義：張量代數的推廣
• 形成方式：混合張量
• 性質：結合代數

概念介紹

混合張量代數(mixed tensor algebra)是張量代數的推廣。設E*，E是域K上的對偶空間，若：

約定：

則x∈(E*，E)稱為(E*，E)上的混合張量，p+q稱為x的全次數。x也稱為E*上的p階反變，q階共變張量，或稱為E上的p階共變，q階反變張量。若p=0，則稱x為E*上的q階共變張量或E上的q階反變張量；若q=0，x則稱為E*上的p階反變張量，或E上的p階共變張量。若：

對任意u*_j∈E*，u_j∈E，定義：

則(E*，E)是有單位元1_E1_E的非可換的結合代數，稱為(E*，E)對上的混合張量代數。

代數

代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如：布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。

設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：

——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：

則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數。當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數。

無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結合代數出現了. 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制，代數得到了重大擴展。

與外代數，對稱代數，張量代數，克利福德代數等一起，代數結構在多重線性代數中也建立了起來。

結合代數

結合代數是類似於環、域，而更接近於環的一個代數系。設A是一個結合環，若A又是域F上向量空間，且對任意元素a，b∈A，λ∈F，適合λ(ab)=(λa)b=a(λb)，則稱A是F上結合代數，簡稱F代數。稱F上向量空間A的維數為代數A的維數，記為dimA。一般地，若結合環A又是左R模，其中R是有單位元1的交換環，且對任意a∈A，λ∈R，適合：

1·a=a，λ(ab)=(λa)b=a(λb)，

則稱A是R上代數.通常假定一個R代數有單位元。

結合代數研究的中心問題是刻畫各類代數的結構，它是從19世紀50年代哈密頓(Hamilton，W.R.)引入實域上四元數(1843年)、格拉斯曼(Grassmann，H.G.)引入向量乘法以及凱萊(Cayley，A.)等人討論矩陣代數開始的.到20世紀初，韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)開創了有限維代數發展的新階段，他的半單代數結構理論對代數的發展起了推動作用，使有限維代數的研究基本上歸結為冪零代數與可除代數的研究，進而得出半單代數較完整的表示理論.阿爾貝特(Albert，A.A.)的《代數結構》一書(1939年)是對經典代數的很好的總結.非半單代數結構的研究則較為複雜，因此劃分成一些自然的代數類並對它們進行描述就成了占主要地位的工作.克德(Ko¨the，G.)、中山正(Nakayama，T.)、淺野啟三(Asano，K.)等人刻畫了主理想代數、弗羅貝尼烏斯代數以及它們的推廣.近年來，開始用模論的方法研究代數結構，產生了代數表示論。

由於R上代數A與環的概念僅多一個R×A到A的乘法運算，因此，子代數、單側理想、理想、商代數、冪零和冪零理想、同構及同態等概念僅比環中相應概念多一個與R中元相乘封閉的性質，不再重複它們的定義。

張量代數

設E為交換體K上的向量空間。對任一自然數偶(p，q)，存在唯一的從Tp(E)×Tq(E)到Tp+q(E)中的雙線性映射Npq，使對Ep的任一元素(x1，…，xp)與Eq的任一元素(xp+1，…，xp+q)，有：

(對任一自然數n，Tn(E)表示E的n次張量冪。)

雙線性映射Npq在向量空間上定義一個酉K-代數結構.這個酉代數叫做向量空間E的張量代數，記為T(E)。

這個代數是結合的；它由E=T1(E)生成。此外，對於任一結合的酉K-代數B及從E到B中的任一線性映射f，f以唯一的方式拓展成一個從酉代數T(E)到酉代數B中的同態。設F為K上的向量空間，而T(F)為F的張量代數。則對從E到F中的任一線性映射f，存在唯一的從酉代數T(E)到酉代數T(F)中拓展f的同態.這個同態叫做線性映射f的張量開拓，記為T(f)。

對偶空間

對偶空間是一種特殊的線性空間。即線性空間的線性函式空間。設V是域P上的線性空間，V的所有線性函式構成的域P上的線性空間，稱為V的對偶空間，記為V(即Hom_P(V，P))。當dim V=n，並且ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基時，由等式ε_i(ε_j)=δ_ij (i，j=1，2，…，n)所確定的n個線性函式ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基，稱為基ε₁，ε₂，…，ε_n的對偶基。由上知，當dim V=n有限時，dim V=dim V=n；但當dim V無限時，二者不再相等，即它們的基元素不再是一一對應的。