張量分析（第3版）

《張量分析（第3版）》是2020年1月清華大學出版社出版的圖書，作者是黃克智、薛明德、陸明萬。

基本介紹

• 中文名：張量分析（第3版）
• 作者：黃克智、薛明德、陸明萬
• 出版社：清華大學出版社
• 出版時間：2020年1月
• 定價：55 元
• ISBN：9787302521570

內容簡介

本書是一本系統闡述張量分析的專著，又是易於教學的教材。全書共分6章。內容包括： 矢量與張量的基本概念與代數運算，二階張量，張量函式及其導數，曲線坐標張量分析，曲面上的張量分析以及張量場函式對參數的導數。各章附有例題與習題，書後附有習題答案。

本書可作為力學及有關專業本科生、研究生的教材，以及有關專業教師、科研及工程技術人員的參考書。

本書是2003年版《張量分析》的修訂版，內容有較多的更新與修改，反映了多年來作者教學科研積累的新成果。

圖書目錄

第1章矢量與張量1

1.1矢量及其代數運算公式1

1.1.1矢量1

1.1.2點積2

1.1.3叉積2

1.1.4混合積3

1.2斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量5

1.2.1平面內的斜角直線坐標系5

1.2.2三維空間中的斜角直線坐標系7

1.2.2.1斜角直線坐標系7

1.2.2.2協變基矢量7

1.2.2.3逆變基矢量8

1.2.2.4由協變基矢量求逆變基矢量8

1.2.2.5指標升降關係9

1.3曲線坐標系10

1.3.1曲線坐標系的定義10

1.3.2空間點的局部基矢量11

1.3.3正交曲線坐標系與Lamé常數12

1.4坐標轉換13

1.4.1基矢量的轉換關係13

1.4.2協變與逆變轉換係數14

1.4.3矢量分量的坐標轉換關係14

1.4.4度量張量分量的坐標轉換關係15

1.5並矢與並矢式15

1.5.1並矢15

1.5.2縮並17

1.5.3並矢的點積與雙點積17

1.5.4並矢的相等18

1.6張量的基本概念18

1.6.1矢量的分量表示法與實體表示法18

1.6.2張量的定義與兩種表示法20

1.6.2.1張量的分量表示法21

1.6.2.2張量的實體表示法（並矢表示法）22

1.6.3度量張量23

1.7張量的代數運算24

1.7.1張量的相等24

張量分析（第3版）1.7.2張量的相加24

1.7.3標量與張量相乘25

1.7.4張量與張量並乘25

1.7.5張量的縮並25

1.7.6張量的點積26

1.7.7轉置張量27

1.7.8張量的對稱化與反對稱化27

1.7.9張量的商法則28

1.8張量的矢積32

1.8.1置換符號與行列式的展開式32

1.8.2置換張量（Eddington張量）與~δ等式33

1.8.3矢積36

1.8.3.1兩個矢量的矢積36

1.8.3.2三個矢量的混合積37

1.8.3.3三個矢量的三重積38

1.8.3.4張量的矢積38

習題39第2章二階張量45

2.1二階張量的矩陣45

2.1.1二階張量的四種分量所對應的矩陣45

2.1.2二階張量的轉置，對稱、反對稱張量及其所對應的矩陣46

2.1.3二階張量的行列式47

2.1.4二階張量的代數運算與矩陣的代數運算47

2.2正則與退化的二階張量49

2.2.1關於映射的幾個定理49

2.2.2正則與退化49

2.3二階張量的不變數50

2.3.1張量的標量不變數50

2.3.2二階張量的三個主不變數51

2.3.3二階張量的矩51

2.4二階張量的標準形52

2.4.1實對稱二階張量的標準形52

2.4.1.1基本概念52

2.4.1.2對稱二階張量的特徵方程53

2.4.1.3實對稱二階張量的特徵根必為實根54

2.4.1.4實對稱二階張量主方向的正交性54

2.4.1.5實對稱二階張量所對應的線性變換54

2.4.1.6主分量是當坐標轉換時N的混合分量對角元素之駐值54

2.4.1.7對稱二階張量標準形的套用55

2.4.2非對稱二階張量的標準形56

2.4.2.1特徵方程無重根的情況56

2.4.2.2特徵方程有重根的情況58

2.5幾種特殊的二階張量63

2.5.1零二階張量O63

2.5.2度量張量G63

2.5.3二階張量的冪64

2.5.3.1二階張量的正整數次冪64

2.5.3.2二階張量的零次冪64

2.5.3.3二階張量的負整數次冪64

2.5.4正張量、非負張量及其方根、對數64

2.5.5二階張量的值66

2.5.6反對稱二階張量66

2.5.6.1定義66

2.5.6.2反對稱二階張量的主不變數66

2.5.6.3反對稱二階張量的標準形66

2.5.6.4反對稱二階張量的反偶矢量67

2.5.6.5反對稱二階張量Ω所對應的線性變換68

2.5.7正交張量68

2.5.7.1定義68

2.5.7.2正交變換的“保內積”性質69

2.5.7.3正交張量的並矢表達式69

2.5.7.4正交張量的標準形69

2.6二階張量的分解71

2.6.1二階張量的加法分解71

2.6.1.1球形張量與偏斜張量72

2.6.1.2利用偏斜張量求對稱二階張量的主分量與主方向73

2.6.1.3二階張量標量不變數的進一步分析75

2.6.2二階張量的乘法分解(極分解)78

2.7正交相似張量79

習題80第3章張量函式及其導數83

3.1張量函式、各向同性張量函式的定義和例83

3.1.1什麼是張量函式83

3.1.2張量函式舉例84

3.1.3各向同性張量函式85

3.2矢量的標量函式87

3.3二階張量的標量函式89

3.4二階張量的二階張量函式91

3.4.1二階張量的解析函式91

3.4.2HamiltonCayley等式92

3.4.3同時化為對角型標準形的函式94

3.4.4對稱張量的對稱張量函式96

3.5張量函式導數的定義，鏈規則101

3.5.1有限微分、導數與微分101

3.5.2張量函式導數的鏈規則105

3.5.3兩個張量函式乘積的導數106

3.6矢量的函式之導數107

3.6.1矢量的標量函式107

3.6.2矢量的矢量函式108

3.6.3矢量的二階張量函式109

3.6.4張量函式的梯度、散度和旋度109

3.6.4.1張量函式的梯度110

3.6.4.2張量函式的散度110

3.6.4.3張量函式的旋度111

3.7二階張量的函式之導數111

3.7.1二階張量的標量函式之導數111

3.7.2二階張量的不變數的導數113

3.7.3二階張量的張量函式之導數114

習題116第4章曲線坐標張量分析120

4.1基矢量的導數、Christoffel符號120

4.1.1協變基矢量的導數及第二類Christoffel符號121

4.1.2第一類Christoffel符號 122

4.1.3逆變基矢量的導數123

4.1.4g對坐標的導數，Γjji 的計算公式124

4.1.5坐標轉換時Christoffel符號的轉換公式124

4.2張量場函式對矢徑的導數、梯度124

4.2.1有限微分、導數與微分125

4.2.2梯度126

4.3張量分量對坐標的協變導數127

4.3.1矢量場函式的分量對坐標的協變導數128

4.3.2張量場函式的分量對坐標的協變導數131

4.3.3協變導數的一些性質132

4.4張量場函式的散度與旋度135

4.5積分定理137

4.5.1預備知識137

4.5.2Green變換公式138

4.5.3Stokes變換公式141

4.6RiemannChristoffel張量(曲率張量)144

4.6.1Euclidean空間與Riemann空間144

4.6.2Euclidean空間應滿足的條件146

4.6.3證明Rp·rsq是張量分量148

4.6.4RiemannChristoffel張量的性質149

4.6.5關於張量分量二階協變導數的Ricci公式、Bianchi恆等式151

4.7張量方程的曲線坐標分量表示方法153

4.8非完整系與物理分量154

4.8.1非完整系154

4.8.2物理分量157

4.8.2.1非完整系基矢量的選擇157

4.8.2.2矢量的物理分量157

4.8.2.3二階張量的物理分量158

4.9正交曲線坐標系中的物理分量159

4.9.1正交標準化基、度量張量與物理分量159

4.9.2基矢量對坐標的導數160

4.9.3正交系中張量表達式的物理分量形式161

習題163第5章曲面上的張量分析169

5.1曲面的基本知識169

5.1.1曲面的參數方程與Gauss坐標169

5.1.2曲面的基本矢量170

5.1.3曲面的第一基本張量171

5.1.4曲面的第二基本張量172

5.1.5曲面上曲線的曲率，曲面的法截面曲率、主曲率、平均曲率與

Gauss曲率173

5.1.5.1曲面上曲線的曲率、Frenet公式173

5.1.5.2曲面的法截面曲率175

5.1.5.3曲面的主曲率、平均曲率、Gauss曲率176

5.1.6曲率線、主坐標、漸近線178

5.1.7旋轉張量183

5.1.8非完整系與物理分量184

5.2曲面上基本矢量的求導公式185

5.2.1法向矢量對坐標的導數（Weingarten公式）185

5.2.2基矢量對坐標的導數（Gauss求導公式），曲面上的

Christoffel符號186

5.2.3第一基本張量分量的導數與協變導數187

5.2.4單位矢量的求導公式188

5.3曲面的基本方程，RiemannChristoffel張量189

5.3.1Codazzi方程與Gauss方程189

5.3.2RiemannChristoffel張量190

5.3.3可展曲面與不可展曲面192

5.3.4Gauss方程的其他形式192

5.3.5以物理分量表達的Codazzi方程與Gauss方程193

5.4曲面上場函式的導數194

5.4.1曲面上的標量場函式194

5.4.2曲面上的矢量場函式195

5.4.2.1曲面上矢量場函式的微分與梯度195

5.4.2.2曲面上矢量場函式的梯度之分量表達式196

5.4.2.3曲面上矢量場函式的散度與旋度198

5.4.3曲面上的切面張量場函式198

5.5等距曲面（平行曲面）200

5.5.1等距曲面的基矢量200

5.5.2等距曲面的第一基本形201

5.5.3參考曲面的第三基本形202

5.5.4等距曲面上面元的面積204

5.5.5等距曲面的第二基本形204

5.5.6主坐標系中等距曲面的幾何參數205

5.6曲面理論的一個套用實例206

5.6.1碳納米曲面的描述207

5.6.2碳納米曲面變形的描述209

5.6.3碳納米曲面的本構關係212

5.6.4石墨烯片剛度212

5.6.5石墨烯捲曲成單壁碳納米管214

習題218第6章張量場函式對參數的導數220

6.1質點運動220

6.1.1質點的運動速度220

6.1.2任意矢量對參數的導數221

6.1.3舉例223

6.2Euler坐標與Lagrange坐標226

6.2.1Euler坐標226

6.2.2Lagrange坐標227

6.2.3兩種坐標系的轉換關係229

6.2.4質點速度和物質導數229

6.3基矢量的物質導數230

6.3.1Lagrange基矢量的物質導數230

6.3.2度量張量的物質導數、應變率張量232

6.3.3速度場的加法分解233

6.3.4Euler基矢量的物質導數235

6.4矢量場函式的導數235

6.4.1Lagrange坐標系中矢量場函式的物質導數235

6.4.2Euler坐標系中矢量場函式的物質導數、全導數237

6.4.3坐標轉換關係240

6.4.4矢量場函式的相對導數240

6.4.5各種導數間的關係244

6.5張量場函式的導數244

6.5.1任意階張量函式的物質導數244

6.5.2二階張量場函式及其相對導數249

6.6連續介質變形與運動的初步知識253

6.6.1變形梯度張量，線元、面元與體元的變換253

6.6.2線元、面元與體元的物質導數255

6.6.3變形梯度張量的極分解257

6.6.4Green應變張量257

6.6.5應力張量259

6.6.6應力率260

6.6.7彈性本構關係261

6.6.8舉例262

6.6.9張量場函式在域上積分的導數264

6.6.9.1張量場函式在物質體積域上的質量積分264

6.6.9.2張量場函式在物質體積域上的體積積分265

6.6.9.3張量通過物質開曲面的通量267

6.6.9.4張量沿物質封閉曲線的環量269

6.6.9.5張量場函式在非物質域上積分的導數270

習題272習題答案274參考文獻306第1章矢量與張量1

1.1矢量及其代數運算公式1

1.1.1矢量1

1.1.2點積2

1.1.3叉積3

1.1.4混合積3

1.2斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量5

1.2.1平面內的斜角直線坐標系5

1.2.2三維空間中的斜角直線坐標系7

1.2.2.1斜角直線坐標系7

1.2.2.2協變基矢量8

1.2.2.3逆變基矢量8

1.2.2.4由協變基矢量求逆變基矢量9

1.2.2.5指標升降關係10

1.3曲線坐標系11

1.3.1曲線坐標系11

1.3.2空間點的局部基矢量12

1.3.3正交曲線坐標系與Lamé常數13

1.4坐標轉換14

1.4.1基矢量的轉換關係14

1.4.2協變與逆變轉換係數15

1.4.3矢量分量的坐標轉換關係16

1.4.4度量張量分量的坐標轉換關係16

1.5並矢與並矢式17

1.5.1並矢17

1.5.2縮並19

1.5.3並矢的點積與雙點積19

1.5.4並矢的相等20

1.6張量的基本概念21

1.6.1矢量的分量表示法與實體表示法21

1.6.2張量的定義與兩種表示法23

1.6.2.1張量的分量表示法24

1.6.2.2張量的實體表示法（並矢表示法）25

1.6.3度量張量26

1.7張量的代數運算27

1.7.1張量的相等27

1.7.2張量的相加27

1.7.3標量與張量相乘28

1.7.4張量與張量並乘28

1.7.5張量的縮並28

1.7.6張量的點積29

1.7.7轉置張量30

1.7.8張量的對稱化與反對稱化31

1.7.9張量的商法則32

1.8張量的矢積35

1.8.1置換符號與行列式的展開式35

1.8.2置換張量（Eddington張量）與~δ等式37

1.8.3矢積40

1.8.3.1兩個矢量的矢積40

1.8.3.2三個矢量的混合積41

1.8.3.3三個矢量的三重積42

1.8.3.4張量的矢積42

習題43

第2章二階張量49

2.1二階張量的矩陣49

2.1.1二階張量的四種分量所對應的矩陣49

2.1.2二階張量的轉置，對稱、反對稱張量及其所對應的矩陣50

2.1.3二階張量的行列式51

2.1.4二階張量的代數運算與矩陣的代數運算52

2.2正則與退化的二階張量53

2.2.1關於映射的幾個定理53

2.2.2正則與退化54

2.3二階張量的不變數55

2.3.1張量的標量不變數55

2.3.2二階張量的三個主不變數55

2.3.3二階張量的矩56

2.4二階張量的標準形57

2.4.1實對稱二階張量的標準形57

2.4.1.1基本概念57

2.4.1.2對稱二階張量的特徵方程58

2.4.1.3實對稱二階張量的特徵根必為實根58

2.4.1.4實對稱二階張量主方向的正交性59

2.4.1.5實對稱二階張量所對應的線性變換59

2.4.1.6主分量是當坐標轉換時N的混合分量對角

元素之駐值59

2.4.1.7對稱二階張量標準形的套用60

2.4.2非對稱二階張量的標準形61

2.4.2.1特徵方程無重根的情況61

2.4.2.2特徵方程有重根的情況63

2.5幾種特殊的二階張量69

2.5.1零二階張量O69

2.5.2度量張量G69

2.5.3二階張量的冪70

2.5.3.1二階張量的正整數次冪70

2.5.3.2二階張量的零次冪70

2.5.3.3二階張量的負整數次冪70

2.5.4正張量、非負張量及其方根、對數70

2.5.5二階張量的值72

2.5.6反對稱二階張量72

2.5.6.1定義72

2.5.6.2反對稱二階張量的主不變數72

2.5.6.3反對稱二階張量的標準形72

2.5.6.4反對稱二階張量的反偶矢量73

2.5.6.5反對稱二階張量Ω所對應的線性變換74

2.5.7正交張量74

2.5.7.1定義74

2.5.7.2正交變換的“保內積”性質75

2.5.7.3正交張量的並矢表達式75

2.5.7.4正交張量的標準形76

2.6二階張量的分解77

2.6.1二階張量的加法分解77

2.6.1.1球形張量與偏斜張量78

2.6.1.2利用偏斜張量求對稱二階張量的主分量與主方向79

2.6.1.3二階張量標量不變數的進一步分析82

2.6.2二階張量的乘法分解（極分解）84

2.7正交相似張量86

習題87

第3章張量函式及其導數91

3.1張量函式、各向同性張量函式的定義和例91

3.1.1什麼是張量函式91

3.1.2張量函式舉例92

3.1.3各向同性張量函式93

3.2矢量的標量函式95

3.3二階張量的標量函式98

3.4二階張量的二階張量函式99

3.4.1二階張量的解析函式99

3.4.2Hamilton\|Cayley等式101

3.4.3同時化為對角型標準形的函式102

3.4.4對稱張量的對稱張量函式105

3.5張量函式導數的定義，鏈規則111

3.5.1有限微分、導數與微分111

3.5.2張量函式導數的鏈規則115

3.5.3兩個張量函式乘積的導數117

3.6矢量的函式之導數117

3.6.1矢量的標量函式117

3.6.2矢量的矢量函式119

3.6.3矢量的二階張量函式120

3.6.4張量函式的梯度、散度和旋度120

3.6.4.1張量函式的梯度120

3.6.4.2張量函式的散度121

3.6.4.3張量函式的旋度121

3.7二階張量的函式之導數122

3.7.1二階張量的標量函式之導數122

3.7.2二階張量的不變數的導數124

3.7.3二階張量的張量函式之導數126

習題128

第4章曲線坐標張量分析132

4.1基矢量的導數，Christoffel符號133

4.1.1協變基矢量的導數及第二類Christoffel符號133

4.1.2第一類Christoffel符號134

4.1.3逆變基矢量的導數136

4.1.4g 對坐標的導數，Γjji的計算公式136

4.1.5坐標轉換時Christoffel符號的轉換公式136

4.2張量場函式對矢徑的導數、梯度137

4.2.1有限微分、導數與微分137

4.2.2梯度139

4.3張量分量對坐標的協變導數140

4.3.1矢量場函式的分量對坐標的協變導數140

4.3.2張量場函式的分量對坐標的協變導數144

4.3.3協變導數的一些性質145

4.4張量場函式的散度與旋度149

4.5積分定理151

4.5.1預備知識151

4.5.2Green變換公式152

4.5.3Stokes變換公式155

4.6Riemann\|Christoffel張量（曲率張量）158

4.6.1Euclidean空間與Riemann空間158

4.6.2Euclidean空間應滿足的條件160

4.6.3證明Rp·rsq是張量分量162

4.6.4Riemann\|Christoffel張量的性質164

4.6.5關於張量分量二階協變導數的Ricci公式，Bianchi恆等式166

4.7張量方程的曲線坐標分量表示方法169

4.8非完整系與物理分量170

4.8.1非完整系170

4.8.2物理分量173

4.8.2.1非完整系基矢量的選擇173

4.8.2.2矢量的物理分量173

4.8.2.3二階張量的物理分量174

4.9正交曲線坐標系中的物理分量175

4.9.1正交標準化基、度量張量與物理分量175

4.9.2基矢量對坐標的導數176

4.9.3正交系中張量表達式的物理分量形式179

習題180

第5章曲面上的張量分析184

5.1曲面的基本知識184

5.1.1曲面的參數方程與Gauss坐標184

5.1.2曲面的基本矢量185

5.1.3曲面的第一基本張量186

5.1.4曲面的第二基本張量188

5.1.5曲面上曲線的曲率，曲面的法截面曲率、主曲率、平均曲率與

Gauss曲率189

5.1.5.1曲面上曲線的曲率、Frenet公式189

5.1.5.2曲面的法截面曲率190

5.1.5.3曲面的主曲率、平均曲率、Gauss曲率192

5.1.6曲率線，主坐標，漸近線194

5.1.7旋轉張量197

5.1.8非完整系與物理分量199

5.2曲面上基本矢量的求導公式201

5.2.1法向矢量對坐標的導數（Weingarten公式）201

5.2.2基矢量對坐標的導數（Gauss求導公式），曲面上的

Christoffel符號201

5.2.3第一基本張量分量的導數與協變導數202

5.2.4單位矢量的求導公式203

5.3曲面的基本方程，Riemann\|Christoffel張量205

5.3.1Codazzi方程與Gauss方程205

5.3.2Riemann\|Christoffel張量206

5.3.3可展曲面與不可展曲面208

5.3.4Gauss方程的其他形式209

5.3.5以物理分量表達的Codazzi方程與Gauss方程210

5.4曲面上場函式的導數211

5.4.1曲面上的標量場函式211

5.4.2曲面上的矢量場函式212

5.4.2.1曲面上矢量場函式的微分與梯度212

5.4.2.2曲面上矢量場函式的梯度之分量表達式213

5.4.2.3曲面上矢量場函式的散度與旋度215

5.4.3曲面上的切面張量場函式215

5.5等距曲面（平行曲面）217

5.5.1等距曲面的基矢量218

5.5.2等距曲面的第一基本形219

5.5.3參考曲面的第三基本形220

5.5.4等距曲面上面元的面積222

5.5.5等距曲面的第二基本形222

5.5.6主坐標系中等距曲面的幾何參數223

習題224

第6章張量場函式對參數的導數227

6.1質點運動227

6.1.1質點的運動速度227

6.1.2任意矢量對參數的導數229

6.1.3舉例230

6.2Euler坐標與Lagrange坐標232

6.2.1Euler坐標232

6.2.2Lagrange坐標233

6.2.3兩種坐標系的轉換關係235

6.2.4質點速度和物質導數235

6.3基矢量的物質導數237

6.3.1Lagrange基矢量的物質導數237

6.3.2度量張量的物質導數、應變率張量238

6.3.3速度場的加法分解240

6.3.4Euler基矢量的物質導數242

6.4矢量場函式的導數243

6.4.1Lagrange坐標系中矢量場函式的物質導數243

6.4.2Euler坐標系中矢量場函式的物質導數、全導數245

6.4.3坐標轉換關係248

6.4.4矢量場函式的相對導數249

6.4.5各種導數間的關係253

6.5張量場函式的導數253

6.5.1任意階張量函式的物質導數253

6.5.2二階張量場函式及其相對導數258

6.6連續介質變形與運動的初步知識262

6.6.1變形梯度張量，線元、面元與體元的變換263

6.6.2線元、面元與體元的物質導數265

6.6.3應變梯度張量的極分解267

6.6.4Green應變張量267

6.6.5應力張量270

6.6.6應力率271

6.6.7彈性本構關係272

6.6.8舉例273

6.6.9張量場函式在域上積分的導數275

6.6.9.1張量場函式在物質體積域上的質量積分275

6.6.9.2張量場函式在物質體積域上的體積積分277

6.6.9.3張量通過物質開曲面的通量278

6.6.9.4張量沿物質封閉曲線的環量281

6.6.9.5張量場函式在非物質域上積分的導數282

習題284

參考書目286