有限域上典型群的幾個套用

《有限域上典型群的幾個套用》是依託蘇州大學，由顧振華擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：有限域上典型群的幾個套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：顧振華
• 依託單位：蘇州大學

項目摘要

有限域上的典型群，流密碼中作為基礎的線性移位暫存器序列和通信系統的編碼等, 這些研究對象之間存在著內在的緊密聯繫，對它們的交叉研究既有數學理論上的興趣，又有著計算機和通信套用的實際需要。本項目擬基於有限域上典型群理論開展如下工作：伽羅華環上線性遞歸序列的綜合算法的設計，並用此算法計算序列的線性複雜度；利用有限域上典型群的表示，對通信領域的有限諧振系統的編碼序列給出一些明確、可操作的算法；研究由辛幾何、酉幾何和正交幾何構造的圖的性質，在此基礎上研究這些圖的編碼問題。項目的研究成果可以豐富有限域的理論，並且為其中若干問題的研究提供新的思路和方法。

結題摘要

有限域理論是現代數學的重要研究內容之一。最近幾十年間, 隨著計算機技術的發展和普及, 有限域理論的發展對現代數學產生了深遠影響。利用有限域上典型群的幾何學對組合學、編碼密碼等領域進行研究是本項目的主要內容。我們計畫的研究主要內容是（1）得到伽羅華環上序列的連分式算法；（2）利用典型群的表示簡化有限諧振碼的字典算法；（3）研究酉圖次成分性質及對稱性。經過項目資助實施後得到結果如下：對這些構造的強正則圖，研究其相關的性質，特別是研究兩類次成分的性質及自同構群。刻畫自同構群是比較困難的，我們充分運用典型群的幾何學，有限域上方程計數的技巧以及次成分的組合結構，完全確定了酉圖、特徵2的正交圖的次成分的自同構群。在研究酉圖的自同構群的過程中，我們發現具有酉內積的代數結構在保持正交性時具有很好的性質，我們也將此性質推廣到特徵0的域上。作為典型群的套用，我們利用典型群的表示簡化了有限諧振碼的字典算法。