《有限幾何的一些組合結構線上性碼理論中的套用研究》是依託河北師範大學，由麻常利擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：有限幾何的一些組合結構線上性碼理論中的套用研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：麻常利
- 依託單位：河北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
經典的編碼理論與代數組合學有非常密切的聯繫，特別體現在與結合方案、組合設計、有限幾何以及圖論等研究對象之間的聯繫上。本項目側重於研究這些組合結構在編碼理論中的套用問題。一般情形下，計算線性碼的權重分布問題是及其困難的，我們擬討論一些特殊情形下線性碼的權重分布問題；結合碼的權重分布問題，討論有限域上線性碼和有限局部環上線性碼與結合方案之間的關係，其中主要包括參數、結構、自同構群等之間的關係；利用結合方案、組合設計、有限幾何等組合結構構作新的具有較好性能的LDPC碼，並討論其參數計算和相應的解碼算法；確定有限域上各類典型群作用下的結合方案的關係圖的自同構群，為結合方案理論在編碼上的套用提供進一步的理論支持。研究這些問題對豐富編碼理論，推動編碼理論在實際中的套用具有重要意義。
結題摘要
經典的編碼理論與代數組合學有非常密切的聯繫，特別體現在與結合方案、組合設計、有限幾何以及圖論等研究對象之間的聯繫上，這些數學工具在編碼理論中的套用，極大地推動了編碼理論的快速發展. 本項目主要研究這些組合結構線上性碼理論中的套用相關的一些問題.首先，我們利用矩陣、有限幾何等構作了一些圖、結合方案與設計. 結合方案原是伴隨於部分平衡不完全區組設計的一個組合結構，描述具有多個結合關係的處理之間的某種平衡性. 由於它和編碼、圖論及有限群的密切聯繫，特別是給編碼提供了某種理論框架，到20世紀80年代，結合方案的研究已發展成為代數組合學中的一個重要分支. 項目組以有限幾何中的辛幾何（酉幾何、正交幾何）中所有m維全迷向子空間為點集，構作了一類廣義辛圖（廣義酉圖、廣義正交圖），它是相應結合方案的關係圖. 進一步地，我們利用矩陣方法確定了它們的的全自同構群. 同時，我們分別利用矩陣與典型群上的幾何構作了多類結合方案與設計，並討論了它們的部分參數計算問題. 其次，我們討論了兩類特殊的線性碼與結合方案之間的關係，計算了相應的參數；解決了幾種特殊類型的循環碼的權重分布問題；並利用有限幾何中的一類全迷向子空間以及有限域上各類矩陣（對稱矩陣，反對稱矩陣，厄米特矩陣）構作了幾類LDPC碼並確定了部分情形下LDPC碼的最小距離，並討論了相關的LDPC碼的解碼算法問題. 最後，為更好的為線性碼的套用研究提供理論基礎，我們構作了一些混合正交陣列.混合正交陣列是由統計學家C.R. Rao在1973年首次引入. 現有的混合正交陣列的構造方法和存在性結果還很少，這些結果在某種程度上限制了混合正交陣列的套用，因此構造更多的混合正交陣列對於組合設計者和試驗設計者提出了挑戰. 項目組分別構作了強度t=2和t=3的混合正交陣列，並且解決了部分混合正交陣列存在性的問題. 通過對本項目的深入研究，發現了更多遠遠沒有解決的問題，還發現結合方案、設計等組合結構與網路編碼中的子空間碼等研究對象有著非常密切的聯繫，這為進一步的研究工作提供了堅實的基礎和研究的目標. 本項目研究的這些問題對豐富編碼理論，推動編碼理論在實際中的套用具有十分重要的意義.
