《曲率，第二基本形式與幾何運算元的相似性的研究》是依託河北師範大學，由紀奎擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：曲率，第二基本形式與幾何運算元的相似性的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：紀奎
- 依託單位：河北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
分類問題或尋找不變數的問題一直是數學研究中的重要問題。本課題的方向是關於幾何運算元的分類問題研究。 1978年，M.I.Cowen和R.G.Douglas利用曲率對於Hermitian全純復叢及其誘導的幾何運算元進行酉分類，同時幾何運算元的相似分類問題也被提出。2007年,R.G. Douglas又提出了如何利用曲率來對幾何運算元進行相似分類的公開問題。本課題的主要內容是利用曲率和第二基本形式作為完全相似不變數來研究全純復叢及幾何運算元的相似分類問題，並力圖建立該類復叢上相應的相似等價意義下的Swan定理。另一方面，齊次運算元以及弱齊次運算元類是幾何運算元中的重要運算元類，其具體的刻畫是及其困難的，以往人們只有通過群表示論等群理論中技巧來得到齊次運算元類的具體刻畫。作為套用，我們也希望通過我們關於曲率及第二基本形式的相關研究，能夠從運算元理論的角度來直接刻畫幾何運算元中的齊次運算元以及弱齊次運算元類。
結題摘要
1978年，M.J. Cowen 和R.G. Douglas 在全純復叢上建立了Clabi 剛性定理並定義了一種曲率函式，進而證明了這種曲率函式及其協變導數是Cowen-Doulgas運算元的酉等價不變數。 M.J. Cowen 和R.G. Douglas 進一步猜測過曲率函式能夠確定全純復叢的相似等價不變數。但到上世紀80 年代初，G.Misra 和D. N. Clark給出了反例。另外，人們很容易發現在高維情形計算曲率函式及其協變導數是極端困難的，而同時利用曲率來刻畫全純復叢及幾何運算元的相似不變數難度更大。因此，如下的問題是亟待解決的，如何簡化Cowen-Douglas運算元以及全純曲線的酉不變數以及是否可以包含曲率在內的復幾何對象刻畫幾何運算元的完全相似分類。通過本課題的研究，我們在Cowen-Doulgas運算元以及全純曲線的子類FB_n上面實現了其酉不變數的簡化,並且把一般的指標為n的Cowen-Douglas運算元以及全純曲線的酉不變數的個數有n^2個減少到了(n(n-1))/2+1個,並且這些不變數均為數值函式較之以往的矩陣值函式不變數更加容易計算和驗證,並且成功的利用曲率以及第二基本形式對一大類Cowen-Douglas運算元進行了相似分類。
