莫爾斯-斯梅爾系統

莫爾斯-斯梅爾系統(Morse-Smale system)是最早得到的一類結構穩定系統。這類系統有一特性：它的非遊蕩集僅由有限個數的周期元素組成，對這類系統的研究是從1937年獲得的龐特里亞金-安德羅諾夫定理的結論開始的，它的通常定義如下：設M是緊緻黎曼流形，X是M上的C^r向量場，如果：1.X有有限個奇點和周期軌道，它們都是雙曲的；2.若σ₁和σ₂是X的奇點或周期軌道，那么σ₁與σ₂的穩定流形與不穩定流形是橫截相交的；3.非遊蕩集Ω(X)恰是X的奇點和周期軌道，則稱X是莫爾斯-斯梅爾向量場。完全類似地可給出莫爾斯-斯梅爾微分同胚的定義。動力系統理論已經證明：任何緊緻微分流形上都存在莫爾斯-斯梅爾系統，這個重要事實是由莫爾斯(H.M.Morse)及斯梅爾(S.Smale)得到的，故這一類系統通常就以他們的名字命名。

基本介紹

• 中文名：莫爾斯-斯梅爾系統
• 外文名：Morse-Smale system
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：動力系統(微分動力系統)

定義

定義1 設為緊緻微分流形，令表滿足如下稱為莫爾斯-斯梅爾(Morse-Smale)條件的一切向量場之集：

1. 非遊蕩集是有限多個臨界點和有限多條閉軌之並；

2. 所有臨界元素均為雙曲的；

3. 臨界元素的穩定流形與不穩定流形橫截相交。

向量場稱為莫爾斯-斯梅爾(簡記為M-S)向量場。

定義2微分同胚稱為莫爾斯-斯梅爾(簡記為M-S)微分同胚，需滿足如下條件：

1. 是有限集；

2. 所有周期點都是雙曲的；

3. 周期點的穩定和不穩定流形橫截相交。

所有M-S微分同胚的集合，記為。

定義3 設是緊緻微分流形，與是的雙曲周期軌道[對應的，的雙曲臨界元素]，若，則稱前於，記為，對M-S微分同胚[對應的M-S向量場]的全體周期軌道[對應的全體臨界元素]配上關係“≤”為[對應的]的骨架圖。

命題4 上述關係≤是相應集合上的偏序關係。

相關定理

定理1(帕利斯(Palis)) 1. 對，為開集；為開集；

2. 若向量場充分鄰近於由，則與有同構的骨架圖；對應地，當微分同胚g充分鄰近，則g與有同構的骨架圖。

定理2對，則M-S條件等價於下列條件：

1. 的一切軌道的極限集與極限集均為臨界元素；

2. 所有臨界元素是雙曲的；

3. 無鞍點間的連線軌道。

定理3 (Peixoto)設M為緊緻二維可定向流形()，若且唯若是M-S向量場時，為結構穩定。

定理4 (帕利斯-斯梅爾)每一微分同胚是結構穩定的，每一個向量場是結構穩定的。