可定向流形

已給Rⁿ中一流形M(p維，C^k類)，可用開集V_i (空間M中的開集)的覆蓋拓撲空間M；對於每個V_i，存在著一個像是V_i的參變數表示：f_i：Ω_i→- V_i。f_i 的選取使M 在V_i所有點定向，如果對於任何一對(i，j)，f_i及f_j在V_i∩V_j中每點確定M 的同一定向，那么就說這些f_i確定M 的一個定向。如果可找到一些局部參變數表示f_i確定M的一個定向(如上所述)，就說M是可定向的，一個流形M，即令是連通的，並不總是可定向的：“默比烏斯帶”提供了不可定向曲面的一個例子。

基本介紹

• 中文名：可定向流形
• 外文名：orientable manifold
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：幾何拓撲學

基本介紹

拓撲流形的定向(orientation of topological manifold)是指確定流形指向的方式問題，有多種等價的方式來定義流形的定向，這裡介紹比較基本的兩種，設M為n維拓撲流形，由定義可知存在M的一個開覆蓋使得對於每個有同胚(或)，於是當時，

是(或)的開子集之間的同胚。若在M上可選取與使得當時，總是保向同胚，則稱M為可定向流形；否則，稱為不可定向流形。

設為單位區間，為流形M的一條道路，選取的一個分割使得某，現在通過選取的序向，使得在和上，它們有一致的序向，則當a為環道時，有的鄰域到的鄰域的一個同胚h，若h為保向同胚，則稱a為保向的；否則稱a為逆向的，於是M可定向的等價說法是：M上的任意環道都是保向環道。由於具有相同基點的同倫環道有相同的保向性，所以單連通流形必定可定向，因此n維球面S當n≥2時可定向(當然圓周S也可定向)。另一方面，如圖1所示，默比烏斯帶的腰圓是一條逆向曲線，從而默比烏斯帶不可定向，因此一切包含默比烏斯帶的曲面均不可定向，所以2維實射影平面、克萊因瓶等均為不可定向的閉曲面(2維流形)。

如圖1

相關性質定理

命題1 在連通的定向流形上存在兩個不同的定向，並且任何圖給出與M的定向中的一個相同的局部定向。

定理1 如果帶邊流形M是可定向的，那么邊界也是可定向的流形。

定義 設M是帶邊的定向流形，是給出M定向的圖冊。的定向由圖冊給出的的定向稱為與M的定向是協調的。

引理1同胚於圓盤與Mf；bius帶沿公共邊界的粘合。

引理2Klein 瓶同胚於粘合了兩個帶的球面。

定理2(分類定理)任何光滑、緊緻、連通、閉、二維流形或同胚於有k 個柄的球面，或同胚於有s 個膜的球面。

引理3任何二維、光滑、緊緻、連通、閉的M²允許有限的三角剖分。

引理4詞W可以(藉助於M²的同胚)改造成多邊形W的所有頂點粘合到一個點。

引理5設則存在M²的同胚，把W變換為詞。

引理6 如果則存在M²的同胚，使W轉變為。

引理7 如果則存在M²的同胚，把W 變換為。

引理8 如果W(在W 上完成了上述的操作) 含有一對字母和的邊：而且則存在一對邊，使其中即對任何一對邊和(這裡)，存在與它相“銜接”的一對邊。

引理9 如果則存在的同胚，把W變成。