拓撲流形定向(orientation of topologicalmanifold)確定流形指向的方式問題.有多種等價的方式來定義流形的定向.這裡介紹比較基本的兩種.設M為n維拓撲流形，由定義可知存在M的一個開覆蓋{UxIaEn}，使得對於每個U是R"(或R+)的開子集之間的同胚.若在M上可選取U，與}a}aEn，使得當Ua n U}}s}時，外。弧‘總是保向同胚，則稱M為可定向流形;否則，稱為不可定向流形.M可定向的等價說法是:M上的任意環道都是保向環道.由於具有相同基點的同倫環道有相同的保向性，所以單連通流形必定可定向，因此n維球面夕當n,2時可定向(當然圓周S'也可定向).另一方面，如圖所示，默比烏斯帶的腰圓是一條逆向曲線，從而默比烏斯帶不可定向，因此一切包含默比烏斯帶的曲面均不可定向，所以2維實射影平面、克萊因瓶等均為不可定向的閉曲面((2維流形).
