垂直平分線

垂直平分線，又稱“中垂線”，是指經過某一條線段的中點，並且垂直於這條線段的直線。垂直平分線可以看成到線段兩個端點距離相等的點的集合，垂直平分線是線段的一條對稱軸。

垂直平分線是初等幾何學科中非常重要的一部分內容。垂直平分線將一條線段從中間分成左右相等的兩條線段，並且與所分的線段垂直(成90°角)。

基本介紹

• 中文名：垂直平分線
• 外文名：perpendicular bisector
• 所屬領域：數學幾何
• 又稱：中垂線
• 性質：中垂線上點到線段兩端的距離相等
• 所屬學科：數學
• 相關定理：中垂線定理

定義

經過某一條線段的中點，並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又稱“中垂線”。

如圖1，N是AB的中點，過N點作MN⊥AB，則，MN為AB的垂直平分線。

圖1 圖式

性質

(1)垂直平分線垂直且平分其所線上段；

(2)垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等；

(3)三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，該點叫外心，並且這一點到三個頂點的距離相等；

(4)垂直平分線的判定：必須同時滿足（1）直線過線段中點;（2）直線⊥線段。

逆定理

逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

如圖1，已知N是AB中點，MN是AB的垂直平分線，平面上一點P滿足PA=PB，證明：P在MN上。

解：

∵MN是AB的垂直平分線

∴AN=BN

∵PA=PB ，PN=PN

∴△PAN≌△PBN

∴∠PNA=∠PNB

∵∠PNA+∠PNB=180°

∴∠PNA=∠PNB=90°

由於過平面上一點，有且僅有一條直線與已知垂線垂直，故P在MN上。

該逆定理得證。

判定方法

①利用定義：經過某一條線段的中點，並且垂直於這條線段的直線是線段的垂直平分線；

②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．（即線段垂直平分線可以看成到線段兩端點距離相等的點的集合）。

作圖方法

（1）尺規作圖法

a. 分別以線段的兩個端點為圓心，以大於線段的二分之一長度為半徑畫弧線，得到兩個交點(兩交點交於線段的兩側)

b. 連線這兩個交點

（2）度量法

（3）摺紙法（摺疊法）

與對稱軸

若圖形（這個圖形可以是直線的、折線的、曲線的）關於某條直線對稱，這條軸就稱為對稱軸。以五角星為例，它有五條對稱軸。

垂直平分線是存在某條線段時才會有這個概念。它的定義是經過某一條線段的中點，並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）。它有一定的局限性。

軸對稱圖形的對稱軸是對稱圖形中任意兩個對應點連線段的垂直平分線。

生活套用

有A,B,C(不在同一條直線上)三個村莊，現要準備建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請確定學校的位置。

解析：依次連線AB,AC,BC，作AB,BC的垂直平分線，交於一點O，則由垂直平分線性質有OA=OB，OB=OC，故OA=OB=OC，O即為學校的位置。

垂直平分線