橢圓的標準方程共分兩種情況：
當焦點在x軸時，橢圓的標準方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；
當焦點在y軸時，橢圓的標準方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；
其中a^2-c^2=b^2
推導:PF1+PF2>F1F2(P為橢圓上的點 F為焦點)
基本介紹
- 中文名：橢圓標準方程
- 外文名：Standard equation of the ellipse
- 別稱：線條
- 表達式：x^2/a^2+y^2/b^2=1
- 提出者：數學家
- 提出時間：19世紀
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：數學幾何，解析幾何
- 適用領域範圍：數學，物理
方程推導,非標準方程,幾何性質,X，Y的範圍,對稱性,計算方法,
方程推導
設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點到F1，F2的距離和為2a（2a>2c）。
以F1，F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy，則F1,F2的坐標分別為（-c,0)，（c,0)。
設P(x,y)為橢圓上任意一點，根據橢圓定義知
PF1+PF2=2a
即
將方程兩邊同時平方，化簡得
兩邊再平方，化簡得
又
，設
，得
兩邊同除以
，得
這個形式是橢圓的標準方程。
通常認為圓是橢圓的一種特殊情況。
非標準方程
其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性質進行計算，分析其特性。
幾何性質
X，Y的範圍
當焦點在X軸時 -a≤x≤a,-b≤y≤b
當焦點在Y軸時 -b≤x≤b,-a≤y≤a
對稱性
不論焦點在X軸還是Y軸，橢圓始終關於X/Y/原點對稱。
頂點：
焦點在X軸時：長軸頂點：（-a，0），（a，0）
短軸頂點：（0，b），（0，-b）
焦點在Y軸時：長軸頂點：（0,-a），（0,a）
短軸頂點：（b,0），（-b,0）
注意長短軸分別代表哪一條軸，在此容易引起混亂，還需數形結合逐步理解透徹。
焦點：
當焦點在X軸上時焦點坐標F1（-c,0）F2(c,0)
當焦點在Y軸上時焦點坐標F1（0，-c）F2(0,c)
計算方法
圓和橢圓之間的關係：
橢圓包括圓，圓是特殊的橢圓。
