線性矩陣不等式

線性矩陣不等式

線性陣不等式被廣泛用來解決系統與控制中的一些問題,隨著求解線性矩陣不等式的內點法的提出、MATLAB 軟體中LMI 工具箱的推出,線性矩陣不等式這一工具越來越受到人們的關注和重視,套用線性矩陣不等式來解決系統和控制問題已成為一大研究熱點。

基本介紹

  • 中文名:線性矩陣不等式
  • 外文名:Linear Matrix Inequality
  • 簡稱:LMI
  • 特點:凸集,可用凸最佳化技術求解
  • 套用領域:系統和控制領域
  • 常用求解工具:Matlab LMI工具箱、YALMIP工具包
定義,線性矩陣不等式的發展,可轉化為線性矩陣不等式表示的問題,一些標準的線性矩陣不等式問題,在Matlab中解決LMI問題,套用,

定義

具有下列形式的矩陣不等式稱為線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)或嚴格線性矩陣不等式
其中,
是個實數變數,稱為線性矩陣不等式(1)的決策變數;
是決策變數構成的決策向量。
是給定的實對稱矩陣
表示矩陣
是負定的,即對於任意的非零向量
,或者
的最大特徵值小於零。而若下列矩陣不等式的成立
則稱為非嚴格線性矩陣不等式。

線性矩陣不等式的發展

線性矩陣不等式的發展可以分為三個階段:
最早的動態系統分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。1890 年Lyapunov 在他出版的被稱為Lyapunov 理論的著作中,提出了微分方程
的穩定條件:若且唯若存在對稱正定矩陣
,使得
。它是LMI的一種特殊形式稱為Lyapunov不等式。
LMI 發展的第二個里程碑是在二十世紀40 年代.當時,前蘇聯科學家Lur’e,Postnikov 及其他學者將Lyapunov 方法套用於控制工程中的一些經典問題,尤其是當執行機構具有非線性時滯時的穩定性,雖然他們沒有形成精確的矩陣不等式,但是所提出的穩定性準則具有LMI 的雛形。“Lyapunov 理論可以套用於控制工程中的重要問題” 這一新想法使Lur’e,Postnikov 等人受到啟發,將Lyapunov 理論套用於解決實際控制工程問題,解決LMI 問題的思想可以歸結於利用手工分析式的求解,當然其套用僅限於小系統。
LMI 發展的第三個里程碑是在二十世紀60 年代.Popov,Yakuovichl 及其它學者利用正實 (Positive Real-PR) 引理簡化Lur’e 問題,套用圖形原則進行求解,產生了Popov 判據.這種判據可以套用於高階系統,但不適合用於非線性系統。從LMI 的控制理論的發展觀點看,Yakuovichl,Popov 等人的貢獻在於給出了利用圖形方法解決LMI 問題。
70 年代,一些學者認識到LMI 問題不僅可以通過圖形方法獲得求解,而且可以通過求解代數Riccati 方程 (Algebraic Riccati Equation-ARE) 獲得求解。1971 年一些學者得到求解經典LMI 的方法,如圖形法以及Lyapunov 函式法.這些分析方法可以用於特殊形式的LMI 問題。
在LMI 歷史中最具實質性的階段是80 年代,這期間提出了多種LMI 標準問題的數值解法,主要的LMI 求解算法有替代凸投影算法,橢球算法及內點法。內點法又分為中心點法,投影法,原始-對偶法,這些方法的共同思路都是把LMI 問題看成凸最佳化問題處理。
1995 年MATLAB 推出了基於內點法的求解LMI 問題的LMI 工具箱,使得求解高維的LMI 成為可能.這種統一標準,統一解法的線性分析方法,設計規範的形式以及有效的數學計算工具包逐步研製成功,使得人們能夠更加方便和有效地處理,求解線性矩陣不等式,從而進一步推動了LMI 在系統和控制領域中的套用。

可轉化為線性矩陣不等式表示的問題

系統與控制中的許多問題初看想來不是一個線性矩陣不等式問題,但通過適當的處理可以轉換成一個線性矩陣不等式問題。下面給出一些典現例子。
1、多個線性矩陣不等式
表 示 一 個 線 性 矩 陣 不 等 式 系 統 。 引 進
,則
同時成立若且唯若
。所以,一個線性矩陣不等式可以用來描述整個線性矩陣不等式系統。
2、矩陣 Schur 補性質可將非線性矩陣不等式轉換成線性矩陣不等式問題。
對於矩陣
,把
分塊得:
其中
維的。設
非奇異,那么
叫做
內的Schur補。介紹矩陣的Schur 補性質。
Schur補引理:對給定的對稱矩陣
,其中
維的。以下三個條件是等價的:
(i)
(ii)
(iii)
3、S-procedure可以把非凸約束問題變換為LMI 約束問題。
,假定
上的實值泛函,針對下述條件:
:對使得
,
的所有
,有
:存在標量
,
,使得對任意的
易知通過條件
可以導出條件
。S-procedure在檢驗條件
的準確性後,再推測條件
是否成立。相比較,條件
容易判斷,所以,利用S-procedure能夠方便判斷條件
是否可行。

一些標準的線性矩陣不等式問題

1、可行性問題(LMIP):已知
,是否能找到
,滿足
。若有,那么此線性矩陣不等式可行;若沒有,那么不可行。其中,MATLAB LMI工具箱提供的相應的求解器為feasp。
2、特徵值問題(EVP):以某線性矩陣不等式約束為基礎,解最小化
的最大特徵值問題,或者推出該約束為不可行的。它的一般形式是:
其可變換為下述問題,二者等價:
上式為特徵值問題求解器能解決的規範表示。其中,MATLAB LMI工具箱提供的相應的求解器為mincx。
3、 廣義特徵值問題(GEVP):已知某線性矩陣不等式約束,解如何最小化二仿射矩陣函式的最大廣義特徵值。
已知維數相同對稱矩陣
為一個標量,若存在一個非零向量y ,滿足
,那么標量
叫作對稱矩陣
的廣義特徵值,求解
問題變換為針對線性矩陣不等式約束的最佳化分析:
其中,MATLAB LMI工具箱提供的相應的求解器為gevp。

在Matlab中解決LMI問題

Matlab當中,我們可以採用圖形界面的lmiedit命令,來調用GUI接口,同樣可以採用程式的方式。
對於LMI Lab,其中有三種求解器(solver):feasp,mincx和gevp。
每個求解器針對不同的問題:
feasp:解決可行性問題(feasibility problem),例如:A(x)<B(x)。
mincx:線上性矩陣不等式的限制下解決最小化問題(Minimization of a linear objective under LMI constraints),例如最小化c'x,在限制條件A(x) < B(x)下。
gevp:解決廣義特徵值最小化問題。例如:最小化lambda,在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制條件下。
要解決一個LMI問題,首要的就是要把線性矩陣不等式表示出來。
對於以下類型的任意的LMI問題
N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M
其中X1, . . . , XK是結構已經事先確定的矩陣變數。左側和右側的外部因子(outer factors)N和M是給定的具有相同維數的矩陣。
左側和右側的內部因子(inner factors)L(.)和R(.)是具有相同結構的對稱塊矩陣。每一個塊由X1, . . . , XK以及它們的轉置組合而成形成的。

套用

有一些有效率的數值方法可以判斷線性矩陣不等式是否可行(是否存在向量y使得LMI(y)≥0),或解出有LMI限制條件的凸最佳化問題。 許多控制理論、系統識別及信號處理的最佳化問題都可以表示為線性矩陣不等式。線性矩陣不等式也可以套用在Polynomial SOS中。原型的原始半定規劃及對偶半定規劃都是實線性函式的最小化,分別屬於控制此LMI的原始凸錐及對偶凸錐。

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