基本介紹
- 中文名：最優保性能控制
- 外文名：Optimal guaranteed performance control
- 套用：工程
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控制約束的不確定離散系統最優保性能控制
對一類具有範數有界時變參數不確定性和控制輸入約束的離散時間線性系統，採用線性矩陣不等式處理方法，導出了保性能控制律存在的條件，證明了該條件等價於一組線性矩陣不等式的可行性問題，並用這組線性矩陣不等式的可行解給出了保性能控制律的一個參數化表示。進而，通過建立並求解一個凸最佳化問題，給出了具有控制約束的不確定離散系統最優保性能控制律設計方法。
保性能控制律設計
滿足控制約束性能控器的存在條件。
定理1對系統和性能指標,若存在正常數α,矩陣 K∈Rm×n，對稱矩陣Z ∈Rn×n和對稱正定矩陣P∈Rn×n，使得對所有允許的不確定性,矩陣不等式成立，則u(k)= Kx(k)是系統的 一個具有性能矩陣P和滿足約束條件的保性能控制律。其中(Z)ii表示矩陣Z的對角線上的第i個元素。
證明：由於矩陣K和矩陣P滿足矩陣不等式,故由定義1知，u(k)=Kx(k)是系統(1)的一個保性能控制律，且閉環性能指標值滿足J ≤xT0Px0。從引理1及其證明知，矩陣P是對應閉環系統的一個Lyapunov矩陣，因此，由不等式可得:對任意的正整數k，閉環系統狀態x(k)滿足xT(k)Px(k)≤α。
定理1的條件中包含有參數不確定性，因此難以檢驗。以下定理進一步用一組線性矩陣不等式的可行性給出了滿足約束條件的保性能控制律的存在條件，並用這組線性矩陣不等式的可行解給出具有輸入約束的保性能控制律的構造方法。
定理2若存在標量α，ε,矩陣Y和對稱矩陣X 、Z，使得以下矩陣不等式成立。
不等式組是關於變 量α,ε，X，Y，Z 的線性矩陣不等式組。因此，可以套用atlab軟體所提供的LMI工具箱中的命 令feasp來求解該線性矩陣不等式系統的可行性問題，並在可行的情況下，給出一個可行解，利用這個可行解可以構造出所需要的保性能控制律。
定理2給出了滿足輸入約束的一組保性能控制律的參數化表示，利用這一參數化表示可以求出使得對應的閉環系統保性能最小化的最優保性能控制律。最優保性能控制律可以通過求解最佳化問題得到。
示例
考慮一個倒立擺系統，該對象的一個離散化模型是
x(k +1)=(A+DfE1)x(k)+(B+DfE2)u(k)
式中：x=[θθyy] T∈R4———系統的狀態向量，θ———擺桿的偏移角，y———小車的位 移，u∈R———作用在小車上的力，f——反映模型參數不確定性的未知參數，且滿足f2≤1,
系統中的控制輸入u受到約束
-3≤u≤3
要求設計該系統滿足控制約束的最優保性能控制律，使得性能指標最小化。其中
Q=diag{2、2、0.5、0.5}，R=0.01
建立相應的最佳化問題，套用Matlab軟體LMI工具箱中的mincx命令，可得該最佳化問題有解。進而根據定理，得到所考慮系統的最優保成本控制律
u(k)=[5.5231、 1.7204、0.2277、 0.7625]x(k)
相應的閉環系統保性能J=74.3971。
若不考慮控制輸入u的約束，則根據文獻的方法，得到所考慮系統的最優保性能控制律
u(k)=[7.8932、2.5186、0 .4336、1.1516]x(k)
相應的閉環系統保性能J=56.7078。對比兩種控制方法可以看出：由於考慮了系統的控制約束，系統的性能進一步變壞。
不確定離散時間系統的H2/H∞最優保性能控制
針對具有兩個不同被調輸出的一類不確定離散時間系統，研究其H2/H∞狀態反饋保性能控制問題。基於線性矩陣不等式處理方法，推導出存在H2/H∞保性能控制律的充分必要條件，並用一個線性矩陣不等式的可行解給出了所有保性能控制律的參數化表示。進而通過建立和求解一個凸最佳化問題,給出了H2/H∞最優保性能控制律設計方法。
問題描述
考慮由態方程描述的不確定離散系統中，x(k)∈Rn是系統的狀態向量，u(k)∈Rm是控制輸入，w(k)∈Rp是外部擾動輸入，z0(k)∈Rq和z1(k)∈Rr是被調輸出，A，B1，B2，C0，C1，D0，D1是描述名義系統模型的已知常數矩陣，ΔA和ΔB1是反映系統模型中參數不確定性的未知實矩陣。考慮的參數不確定性假定是範數有界的，且具有如下形式
[ΔA、ΔB1]=HF[ E1、E2]
式中F∈R i×j是滿足
FTF≤I
的不確定矩陣，H，E1和E2是已知的常數矩陣，它們反映了不確定參數的結構信息。
研究的問題是設計一個狀態反饋控制律
u(k)=Kx(k)
滿足設計指標的控制律稱為系統的H2/H∞保性能控制律。-J(K)一般依賴於所選取的控制律。使得最小化的保性能控制律稱為系統的H2/H∞最優保性能控制律。
保性能控制律方法的有效性
通過一個例子來說明提出的保性能控制律設計方法的有效性。
C0=[1 1 1]，D0=1
C1=[ - 1、1、0]，D1=0.5
H=[0.25、- 0.50、0.75] T
E1=[0、0.50、1.00]，E2=0
給定γ=10，採用MATLAB中有關LMI的相關軟體，可方便地求得相應的最佳化問題是可解的,因此，根據定理可得到所考慮系統的H2/H∞最優保性能控制律為
u(k)=[0.96、0.78、0.63]x(k)
對所有允許的參數不確定性，閉環系統關於被調輸出z0(k)的H2性能指標滿足J(K)≤ 22.12，被調輸出z1(k) 滿足‖Gwz1 (z)‖∞<10。
進一步，對不同的擾動抑制度γ，重複以上步驟，可得到相應的H2/H∞最優保性能控制律。H2保性能指標值與擾動抑制度γ間的關係給出了在不同擾動抑制度γ下，所得的閉環系統的H2保性能指標值與擾動抑制度γ間的關係。仿真曲線表明了H2保性能指標值隨著擾動抑制度γ的增加而減小。
