約化密度矩陣

在量子力學里，密度算符（density operator）與其對應的密度矩陣（density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克於1930年提出。

基本介紹

• 中文名：約化密度矩陣
• 外文名：Reduced density matrix
• 領域：量子力學

密度矩陣

在量子力學里，密度算符（density operator）與其對應的密度矩陣（density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態矢量來描述的量子態，混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態、、、……的機率分別為、、、……，則這混合態量子系統的密度算符為

注意到所有機率的總和為1：

假設是一組規範正交基，則對應於密度算符的密度矩陣，其每一個元素為

對於這量子系統，可觀察量A的期望值為

是可觀察量A對於每一個純態的期望值乘以其權值後的總和。

混合態量子系統出現的案例包括，處於熱力學平衡或化學平衡的系統、製備歷史不確定或隨機變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個糾纏在一起的子系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個子系統仍舊可能處於混合態。在量子退相干理論里，密度算符是重要理論工具。

密度算符是一種線性算符，是自伴算符、非負算符（nonnegative operator）、跡數為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·諾伊曼與列夫·郎道各自獨立於1927年給出。

約化密度算符

約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克於1930年提出。假設兩個希爾伯特空間、的規範正交基分別為、，分別在這兩個希爾伯特空間、的兩個子系統A、B所組成的複合系統，其量子態為純態，其密度算符為

取密度算符對於子系統B的偏跡數，可以得到子系統A的約化密度算符：

例如，糾纏態，其子系統{\displaystyle A}的約化密度算符為

如同預想，這公式演示出，子系統A的約化密度算符為混合態。

參閱

• 玻恩法則（Born rule）
• 葛利生定理（Gleason's theorem）
• 密度泛函理論