基本介紹
- 中文名:跡數
- 外文名:Trace
- 別稱:跡
簡介,例子,性質,矩陣乘積的跡數,跡數的相似不變性,矩陣跡數和特徵多項式,矩陣跡數與特徵值,線性映射的跡數,跡的梯度,單個矩陣,兩個矩陣,參見,
簡介

其中
代表矩陣的第i行j列上的元素的值。

例子
設有矩陣:


性質



矩陣乘積的跡數
設A是一個
矩陣,B是個
矩陣,則:



其中
是一個
矩陣,而
是一個
矩陣。




上述的性質可以由矩陣乘法的定義證明:

如果
和
都是
的方形矩陣,那么它們的乘積
和
也會是方形矩陣。因此,利用這個結果,可以推導出:計算若干個同樣大小的方形矩陣的乘積的跡數時,可以循環改變乘積中方形矩陣相乘的順序,而最終的結果不變。例如,有三個方形矩陣
、
和
,則:









但是要注意:

更一般地,乘積中的矩陣不一定要是方形矩陣,只要某一個循環改變後的乘積依然存在,那么得到的跡數依然會和原來的跡數相同。

跡數的相似不變性
2.因此

矩陣跡數和特徵多項式


矩陣跡數與特徵值




如果不區分相同或不同的特徵值的話,上述關係也可以寫成:

其中的
是矩陣的特徵值。 而且有:


線性映射的跡數







另外一種定義涉及到行列式的性質。考慮
的一個基底
,以及函式:




根據行列式理論,這個函式也是一個行列式型的函式,也就是說存在一個只取決於
的量
,使得





跡的梯度
由跡的定義可知跡可以看作是矩陣的實標量函式,所以我們可以通過求實標量函式的梯度來求跡的梯度。
單個矩陣
A是m×m矩陣時,有

m×m矩陣A可逆時,有

對於兩個向量x和y的外積,有

兩個矩陣
若A為m×n矩陣,有

若A為m×m矩陣,有

若A為m×n矩陣,B是m×n矩陣,有

若A為m×n矩陣,B是n×m矩陣,有

當A和B均為對稱矩陣時,有

若A和B都是m×m矩陣,並且B是非奇異矩陣,有
