量子測量

在量子力學之中，所謂的“測量”需要有較嚴謹的定義，而特別稱之為量子測量。量子測量不同於一般經典力學中的測量，量子測量會對被測量子系統產生影響，比如改變被測量子系統的狀態；處於相同狀態的量子系統被測量後可能得到完全不同的結果，這些結果符合一定的機率分布。量子測量是量子力學解釋體系的核心問題，而量子力學的解釋還沒有統一的結論。除了實驗物理上的考量之外，量子測量涉及的層面也包括了哲學觀點。

基本介紹

• 中文名：量子測量
• 相關學科：物理
• 類型：測量計算
• 有關體系：量子力學解釋體系

數學形式

與經典物理中的測量不同，量子測量不是獨立於所觀測的物理系統而單獨存在的，相反，測量本身即是物理系統的一部分，所作的測量會對系統的狀態產生干擾。

一般形式

量子公設的第三條是對測量下的定義。量子測量可以通過一個測量算符的集合 { M_m} 來表示，它作用在系統的狀態空間上。測量算符M的序列號m表示測量所得出的不同結果。如果系統在測量前處於狀態|psi>，那么測量後得到結果 m 的機率是：

p( m ) =<psi | M*_mM_m |psi>

測量後系統的狀態變為：

M_m|psi>/sqrt(<psi | M*_mM_m |psi>)

測量算符必須滿足以下的完備性條件：

sum_m(M*_mM_m)=I

上述完備性條件與下式等價，即完備性條件決定了測量得到各個結果的機率和為1：

1=sum_m(p_m)=sum_m(<psi | M*_mM_m |psi>)

示例

一個量子比特|psi>=a|0>+b|1>被{M_m}={M_0,M_1}測量，所謂量子比特可以認為是一個二維量子系統的狀態，比如一個光子的極化狀態（英語：Photon polarization）。

M_0=|0><0|;M*_0M_0=M_0

M_1=|1><1|;M*_1M_1=M_1

I=|0><0|+|1><1|

p(0)=<psi|M*_0M_0|psi>=<psi|M_0|psi>=<psi|0><0|psi>=|a|^2

p(1)=|b|^2

測量得到0和1的機率分別是|a|^2和|b|^2，而

1=<psi|psi>=|a|^2+|b|^2

即機率和為1

M_0|psi>/|a|=a/|a|*|0>

M_1|psi>/|b|=b/|b|*|1>

可以發現測量後，系統的狀態要么變成a/|a|*|0>要么變成b/|b|*|1>，而對於量子力學來說，量子狀態的相位是沒有意義的，因而系統的狀態在測量之後不是|0>就是|1>，即投影到了基矢量|0>或|1>構成的狀態空間中去，顯然|0>或|1>只能構成一個一維狀態空間。

一般來講測量不是么正算符，而是從系統里獲取信息的一個過程。

算符

量子力學中，可觀測量在數學上常以厄米算符(Hermitian)或自伴算符來表示。此算符的本徵值集合代表測量可能結果的集合。對於每個本徵值而言，存在有一個對應的本徵態（或本徵矢量），其為系統在測量之後的狀態。這種表征具有一些特質：

1. 厄米矩陣的本徵值是實數。一個測量的可能結果恰好是給定的可觀測量的本徵值。
   
2. 一個厄米矩陣可以么正式地對角化（參見譜定理(Spectral theorem)），產生了本徵矢量的一組正交歸一基，可以架構出系統的態空間。一般來說，系統的狀態可以寫為任何厄米算符的線性組合。如此在物理上的意義即為任何狀態可以表示為一可觀測量其本徵態的疊加。
   

重要的例子有：

1.哈密頓算符，代表系統的總能量；非相對論性的特例為：H~=p~^2/2m+V(x~).

2.動量算符：p~=h/2pi i*6/6x（以位置基底表示。）

3.位置算符：x~=-h/2pi i*6/6p（以動量基底表示。）

其中~表示上面有個^,6表示偏微分運算元。

算符可以是非對易性（或稱非交換性）的。在有限維度的例子，如果兩個厄米算符擁有相同的歸一化的本徵矢量集合，則它們可以對易。非對易的兩個可觀測量被稱為“不相容”(incompatible)而無法同時測量。比較知名的例子是位置與動量，也可以透過海森堡不確定原理來描述。

量子測量分類

以往量子力學經常只限於研究“孤立封閉”的量子體系。 此時量子測量都是 Von Neumann 正交投影——按測量公設，是向被測力學量的正交歸一本徵函式族投影:

即

但一般地說，按不同情況和不同觀點，量子測量有不同的種類：

i) 封閉系統量子測量與開放系統量子測量；

ii) 兩體及多體有局域測量、 關聯測量、 聯合測量；

iii) 完全測量與不完全測量。

其中就簡單的兩體而言，有兩體局域測量、關聯測量、聯合測量：

i）局域測量 ：只對兩體中的某一方作測量，比如只對A測量。相應力學量是，相應的測量結果為

此類測量的所有測量結果只和約化密度矩陣有關。

ii）關聯測量 ：同時對A 、B 作局域測量,並比較相應結果:

。此時只對未糾纏態——可分離態，比如有

此類測量結果均是可分離的，只和兩個約化密度矩陣及有關。

iii）聯合測量 ：測量不是局域進行的，類似於下面不可分離類型的力學量測量

此類測量結果均不是可分離的，和兩個粒子態的量子關聯有關。